中学数学:文字を使った説明

こんにちは。相城です。今回は中2の文字を使った説明に関してです。

そもそも偶数ってなんで2mって方へ

A君に偶数ってどんな数?って聞くと2とか8とか見たいな数字って返事が返ってきました。B君に同じ質問をすると, 偶数は2の倍数って返事が返ってきました。この場合, B君の2の倍数っていう言葉にはA君の数字が含まれています。また, それ以外のすべての偶数が含まれていることにお気づきでしょうか。
ですから, 全ての偶数は整数を表す文字mを使って, 2mと表されるのです。文字って便利ですよね。
補足
2の倍数ってどんな数かっていうと, 九九の段で2の段の数だから
2\times1=2
2\times2=4
2\times3=6
\vdots
2\times m=2m
となります。

文字が複数必要なわけ

なぜ文字はm,nと2つ必要なのか。
例えば, 偶数と偶数の和は偶数であることを説明しなさい。
という問題があり, その解答が以下のようであった。
(誤答)
mを自然数とし, 偶数を2mとすると,
2m+2m=2×2m
2mは偶数なので, 偶数と偶数の和は偶数である。(end)
これは間違いであることはご存じでしょうか。
この式の場合, mを1, 2, 3, \cdotsと変化させても同じ数字の和(2+2、8+8など)しか求められないのです。
数学の場合, すべての場合において説明しなければなりません。従って, 文字をm, nと設定することで異なる2つの数字の和を実現しているのです。
(解答例)
m,nを自然数とすると, 2つの偶数は2m,2nと表せる。
それらの和は,
2m+2n=2(m+n)
よって2\times(自然数)となり, 2つの偶数の和は偶数である。(end)

連続する数の場合

:連続する3つの自然数の和は3の倍数になることを説明しなさい。
ではこの問題で, 文字が3つ必要なのでしょうか。答えは文字は1つです。\
文字が3つ(例えばa, b, c)あると, aは1, bは3, cは10とか独立したことを言えるのです。これでは連続しなくなります。そこで文字を1つにする、
例えば最も小さい自然数をnとすると, n, n+1, n+2という文字の置き方になります。
ここでnを7とおくと7, 8, 9という具合に連続する3数が決まります。1つの文字にすることで, 他の2数が決まる仕組みになっているのです。

文字を使った説明の流れ

説明には次の流れで行うとよいでしょう。

文字を使った説明の流れ
  1. 使う文字の設定(自然数か整数なのか)
  2. 問題にあった式を作る
  3. 計算
  4. 問題にあった式変形
  5. 文で締めくくる

これを守っていれば道を大きくそれることはないでしょう。

文字式を使う便利さ

文字式を使うことは 数字を文字で置くことで, 全ての数字をカバーできるんです。
例えば1Lあたりのガソリンの値段を105円とする。
1日の値段がずっと105円なら, これは定数(決まった数)になります。
ただ, ガソリンの値段は日々変わるので, 文字を使ってx円と置くことで,
今日は105円, 明日は98円のように, 違った値が取れるのです。これを変数といいます。
こうやって文字で置くことで、数字全体をxだけで表すことができるんです。
数字全体といってもガソリンの値段は自然数ですので, この場合は自然数全体をカバーできることになります。

偶数+偶数=偶数という問題も同じです。

数学ではすべての現象について説明しなければなりません。
2+4=6
10+22=32
102+98=200
だから偶数になるではだめで, 1兆+2兆=3兆も説明しなくてはいけません。
そのために文字が出てくるのです。

2つの偶数を,整数を表す文字m, nをつかって,2m, 2nとすると,
2m+2n=2(m+n)
2\times(整数)より 偶数と偶数の和は偶数である。

このm,nには整数であれば, どんな値を入れてもいいことになるので,
1兆であろうが, 1000001, 9, 5, -2などを代入して,
すべての偶数+偶数の説明が1つの式で, できることになります。

文字式とは一般に数量を簡単に表すというものです。
たくさんの偶数を2mという式1つだけで表せるってある意味すごいですよね?

中学数学:攻略・文字を使った説明

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