TikZ：高校数学：領域における最大値と最小値①

こんにちは。今回はある領域において, 式のとる値の最大値, 最小値について調べてみたいと思います。典型パターンを記しておきます。

グラフの切片を利用して考える

【例題】 $x$ , $y$ が4つの不等式 $x\geqq0$ , $y\geqq0$ , $x+y-4\leqq0$ , $2x-y-5\leqq0$ を同時に満たすとき, $2x+y$ の最大値と最小値を求めよ。

【解法】まずは4つの不等式の表す領域を図示する。
$x+y-4\leqq0$ より, $y\leqq-x+4$
$2x-y-5\leqq0$ より, $y\geqq2x-5$
これらと, $x\geqq0$ , $y\geqq0$ より, 4つの不等式が表す領域は下図の色を付けた部分(境界線は含む)である。
2つのグラフ $y=-x+4$ と $y=2x-5$ のグラフの交点は $(3, 1)$ である。

ここで $2x+y$ のとる値を $k$ とすると,
$2x+y=k$ となり, これを $y$ について解くと,
$y=-2x+k$ となる。このとき $k$ は一次関数 $y=-2x+k$ の切片になるので, このグラフが上の領域のどこを通るときが切片 $k$ が最大値になるか, 最小値になるかを見ていけばよいことになる。また, 傾きに着目すると $-2<-1$ だから,
それを図示すると,

このように切片 $k$ が最大になるのは青点を通るときで, $x=3$ , $y=1$ のとき。その値は $2x+y=k$ より, $k=7$ , 最小値は赤点を通るときで, $x=0$ , $y=0$ のとき。その値は $2x+y=k$ より, $k=0$ となります。
以上より,
$2x+y$ の最大値は, $x=3, y=1$ のときで7。最小値は $x=0, y=0$ のときで0。
このような感じで解いていきます。

解法の流れ

$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　 $x, y$ のとる領域を図示する。
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　求める値を $k$ とおき, $y$ について解き, $k$ の値を関数 $y$ の一部として扱う。
今回は切片になる。
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　領域のどこを通るのが最大, 最小になるか調べて答える。

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グラフの切片を利用して考える

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