TikZ：高校数学：ベクトルと内分点と比

こんにちは。今回はベクトルと内分点ということで, 比較的重要な例題をやっておきます。それでは見ていきましょう。

ベクトルと内分点と比の例題

【例】△OABにおいて, 辺OAを $3 : 2$ に内分する点をC, 線分BCを $1 : 2$ に内分する点をDとし, 直線ODと辺ABの交点をEとする。このとき, $\overrightarrow{\text{OE}}$ を $\overrightarrow{\text{OA}}$ , $\overrightarrow{\text{OB}}$ で表し, OD : DEを求めよ。
【解法】OD : DEだけならメネラウスの定理を使えば出せますが, それは今回は無しということでいきます。

CD : DB=1 : 2なので,
$\overrightarrow{\text{OD}}=\dfrac23\overrightarrow{\text{OC}}+\dfrac13\overrightarrow{\text{OB}}$
$\overrightarrow{\text{OC}}=\dfrac35\overrightarrow{\text{OA}}$ だから, 上の式に代入すると,
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{\text{OD}}&=&\dfrac23\cdot\dfrac35\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13\overrightarrow{\text{OB}}\\&=&\dfrac15\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac23\overrightarrow{\text{OB}}\end{array}$
よって,
$\overrightarrow{\text{OD}}=\dfrac25\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13\overrightarrow{\text{OB}}\cdots$ (答)
ここで, $\overrightarrow{\text{OE}}=k\overrightarrow{\text{OD}}$ であるから,
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{\text{OE}}&=&k\left(\dfrac25\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13\overrightarrow{\text{OB}}\right)\\&=&\dfrac25k\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13k\overrightarrow{\text{OB}}\end{array}$
Eは辺AB上にあるので,
$\dfrac25k+\dfrac13k=1$ が成り立つ。
これを解いて, $k=\dfrac{15}{11}$
よって, $\overrightarrow{\text{OE}}=\dfrac{15}{11}\overrightarrow{\text{OD}}$
したがって, OD : DE $=11 : 4\cdots$ (答)
【別解】
$\overrightarrow{\text{OD}}=\dfrac25\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13\overrightarrow{\text{OB}}$
を次のように変形することもできる。
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{\text{OD}}&=&\dfrac25\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac13\overrightarrow{\text{OB}}\\&=&\dfrac{6}{15}\overrightarrow{\text{OA}}+\dfrac{5}{15}\overrightarrow{\text{OB}}\\&=&\dfrac{6+5}{15}\left(\dfrac{6\overrightarrow{\text{OA}}+5\overrightarrow{\text{OB}}}{11}\right)\\&=&\dfrac{11}{15}\left(\underline{\dfrac{6\overrightarrow{\text{OA}}+5\overrightarrow{\text{OB}}}{11}}\right)\end{array}$
下線部は $\overrightarrow{\text{OE}}$ のことなので,
$\overrightarrow{\text{OD}}=\dfrac{11}{15}\overrightarrow{\text{OE}}$
よって, OD : DE $=11 : 4\cdots$ (答)

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ベクトルと内分点と比の例題

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