高校数学:確率の最大値

こんにちは。今回は確率の最大値に触れておきたいと思います。早速ですが, 例題を見ていきましょう。

例題を見てみよう

つぼの中にN(\geqq6)個の白い玉がある。このつぼから5つの玉を取り出し赤印をつけてもとに戻す。よくかきまぜてから今度は2個の玉を取り出すとき, 赤印をつけたものが1個だけである確率P_Nは【 ① 】である。また, この確率を最大にするNの値を求めると, 【 ② 】と【 ③ 】である。

解法

【解法】
前置きはいいとして, つまり, 5個の赤玉とN-5個の白玉があるということになる。
すべての玉の取り出し方は, {}_N \mathrm{C} _2で, 取り出すのは1個が赤玉, 1個が白玉なので, 起こりうる場合の数は, {}_5 \mathrm{C} _1\times {}_{N-5} \mathrm{C} _1である。したがって, 求める確率P_nは,
P_N=\dfrac{{}_5 \mathrm{C} _1\times {}_{N-5} \mathrm{C} _1}{{}_N \mathrm{C} _2}
=\dfrac{5(N-5)}{\dfrac{N(N-1)}{2!}}
=\dfrac{10(N-5)}{N(N-1)}\cdots①の(答)
続いて, これを用いてP_{N+1}Nを使って表し,
\dfrac{P_{N+1}}{P_N}の商を考えることにする。
\dfrac{P_{N+1}}{P_N}>1ならP_{N+1}>P_Nということで,
\dfrac{P_{N+1}}{P_N}=1ならP_{N+1}=P_N,
\dfrac{P_{N+1}}{P_N}<1ならP_{N+1}<P_Nということになります。
この結果から, P_Nの最大値を求めることにします。
P_{N+1}は①の結果において, NN+1に置き換えたものだから,
P_{N+1}=\dfrac{10\{(N+1)-5\}}{(N+1)\{(N+1)-1\}}
=\dfrac{10(N-4)}{N(N+1)}
したがって, \dfrac{P_{N+1}}{P_N}は,
\dfrac{P_{N+1}}{P_N}=\dfrac{\dfrac{10(N-4)}{N(N+1)}}{\dfrac{10(N-5)}{N(N-1)}}
=\dfrac{(N-4)(N-1)}{(N-5)(N+1)}
=\dfrac{N^2-5N+4}{N^2-4N-5}
( i ) \dfrac{N^2-5N+4}{N^2-4N-5}>1のとき,
N^2-5N+4>N^2-4N-5
-N>-9
N<9(以下方程式の途中式割愛)となり, Nが9より小さいときはP_{N+1}>P_N
例えばN=7なら, P_8>P_7となる。
( ii ) \dfrac{N^2-5N+4}{N^2-4N-5}=1のとき,
N=9となり, P_{N+1}=P_N(P_{10}=P_9)となる。
(iii) \dfrac{N^2-5N+4}{N^2-4N-5}<1のとき,
N>9となり, Nが9より大きいときは, P_{N+1}<P_N
例えばN=11なら, P_{12}<P_{11}となる。
( i ), ( ii ), (iii)より
\cdots P_7<P_8<P_9=P_{10}>P_{11}>P_{12}\cdots
よってP_Nが最大になるNN=9, 10\cdots②, ③の答え(順不同)

よく使うテクニック

テクニック?
  1. P_nを求めるのに, 次の公式をよく用います。
    {}_n \mathrm{C} _r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}
    例えば,
    {}_{10} \mathrm{C} _n=\dfrac{10!}{n!(10-n)!}
    となります。
  2. P_nを求めた後, nn+1に置き換えて, P_{n+1}を求める。
    そして, \dfrac{P_{n+1}}{P_n}を計算する。
    P_nが最大になるnは以下から判断する。
    \dfrac{P_{n+1}}{P_n}<1
    \dfrac{P_{n+1}}{P_n}=1
    \dfrac{P_{n+1}}{P_n}>1



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