emath:高校数学:3次関数の接線の本数を調べる

こんにちは。今回は3次関数の接線の本数を具体的に証明しておこうと思います。それではどうぞ。

例を見ていこう

【例題】3次関数f(x)=x^3-6x^2+9xの点( x, y )からの接線の本数を調べよ。

3本の接線が引ける場合

【解法】
接点を(t, t^3-6t^2+9x)と置く。
f(x)を微分し, 接線の方程式を求めると,
g(x)=(3t^2-12t+9)(x-t)+t^3-6t^2+9t
これが( x, y )を通るので,
y=(3t^2-12t+9)(x-t)+t^3-6t^2+9t
展開し, tについて整理すると
-2t^3+3(x+2)t^2-12tx+9x-y=0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
このtについての3次方程式の実数解の個数が接線の本数を決めるので, \textcircled{\scriptsize 1}の左辺をh(t)とおいて, 極値を調べることにする。
h(t)=-2t^3+3(x+2)t^2-12tx+9x-y\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
h(t)tで微分すると,
h'(t)=-6t^2+6(x+2)t-12x
=-6\{t^2-(x+2)t+2x\}
=-6(t-2)(t-x)\cdots\textcircled{\scriptsize 3}
このとき, \textcircled{\scriptsize 2}が異なる3つの実数解を持つことは, \textcircled{\scriptsize 2}が極値を持ち, 極値の符号が異なることが条件になる。つまり, \textcircled{\scriptsize 3}において, x\neq2かつ, (極大値)\times(極小値)<0であればよい。
\textcircled{\scriptsize 3}から, 極値をとる値はt=2, xで, 極値h(2), h(x)を求めると,
h(2)=-16+12(x+2)-24x+9x-y
=-3x+8-y
h(x)=-2x^3+3(x+2)x^2-12x^2+9x-y
=x^3-6x^2+9x-y
となる。
h(2)\cdot h(x)<0より,
(-3x+8-y)(x^3-6x^2+9x-y)<0となり,
-3x+8-y>0かつ, x^3-6x^2+9x-y<0
y<-3x+8かつ, y>x^3-6x^2+9x
または,
-3x+8-y<0かつ, x^3-6x^2+9x-y>0
y>-3x+8かつ, y<x^3-6x^2+9x
を満たす領域において, h(t)は異なる3つの実数解を持つことになる。
このとき, 直線y=-3x+8は3次関数y=x^3-6x^2+9xの変曲点(2, 2)における接線である。
したがって, 接線が3本引ける領域を図示すると以下の黄色の領域で, 境界線は含まない。

2本の接線が引ける場合

接線が2本引ける場合は, h(t)が極値を持ち, 極大値または極小値が0になればよいので, \textcircled{\scriptsize 3}x\neq2かつ, h(2)=0, または, h(x)=0
このとき,
-3x+8-y=0より, y=-3x+8
x^3-6x^2+9x-y=0より, y=x^3-6x^2+9x
これを図示すると以下のようになる。(2, 2)は含まない。

接線が1本引ける場合

最後に接線が1本引ける場合は, h(t)が極値を持たない場合か, 極値を持ったとしても極値の符号が同符号である場合, h(t)は実数解を1つしか持たないことになるので, x=2または, h(2)\cdot h(x)>0が条件になる。
つまり,
(-3x+8-y)(x^3-6x^2+9x-y)>0となり,
-3x+8-y>0かつ, x^3-6x^2+9x-y>0
y<-3x+8かつ, y<x^3-6x^2+9x
または,
-3x+8-y<0かつ, x^3-6x^2+9x-y<0
y>-3x+8かつ, y>x^3-6x^2+9x
を満たす領域において, h(t)はただ1つの実数解を持つことになる。
したがって, 接線が1本引ける領域を図示すると以下の白の領域で, 点(2,2)以外の境界線は含まない。

まとめ

3次関数の接線の本数は接線を引く場所によって決まる。

3次関数の接線の本数


①黄色の領域(境界線は含まない)の1点からは3本
②もとのグラフ上の1点, 変曲点における接線のグラフ上の1点(変曲点は含まない)からは2本
③白の領域の1点, 変曲点からは1本
の接線が引ける。


コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)