高校数学：ベクトルと三角形の面積

こんにちは。相城です。今回はベクトルと三角形の面積についてです。

ベクトルと三角形の面積

△OABの面積を $S$ とするとき,
$S=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow {\mathstrut b}|\sin\theta$ であることはご存知でしょう。
ここでは, この式を変形して $\sin\theta$ や $\cos\theta$ を用いず
面積を求める公式をつくってみましょう。
$S&=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow {\mathstrut a}||\overrightarrow {\mathstrut b}|\sin\theta$
$&=\dfrac12\sqrt{|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2\sin^2\theta}$
$&=\dfrac12\sqrt{|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2(1-\cos^2\theta)}$
$=\dfrac12\sqrt{|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2-|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2\cos^2\theta}$
$=\dfrac12\sqrt{|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2-(|\overrightarrow {\mathstrut a}||\overrightarrow {\mathstrut b}|\cos\theta)^2}$
$&=\dfrac12\sqrt{|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2-(\overrightarrow {\mathstrut a}\cdot\overrightarrow {\mathstrut b})^2}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
このように, ベクトルの内積を使って表わすことが可能で, 入試ではよく使われています。

次にA( $a_1, a_2$ ), B( $b_1, b_2$ )として, $\textcircled{\scriptsize 1}$ に代入してみます。
$|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2=a_1^2+a_2^2$
$|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2=b_1^2+b_2^2$
$(\overrightarrow {\mathstrut a}\cdot\overrightarrow {\mathstrut b})^2=(a_1b_1+a_2b_2)^2$
であるから, $\textcircled{\scriptsize 1}$ は,
$S&=\dfrac12\sqrt{\mathstrut{|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2-(\overrightarrow {\mathstrut a}\cdot\overrightarrow {\mathstrut b})^2}}$
$&=\dfrac12\sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2}$
$&=\dfrac12\sqrt{a_1^2b_2^2-2a_1b_2a_2b_1+a_2^2b_1^2}$
$&=\dfrac12\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2}$
$&=\dfrac12|a_1b_2-a_2b_1|$

このように, △OABの面積は, ベクトルの成分からでも求めることが可能であることが分かる。