中学数学:球の表面積のなぜ?

こんにちは。相城です。今回は球の表面積について書いていこうと思います。

中学生でも納得かな?なぜ球の表面積は4\pi r^2なのかを証明しよう。
先ず半径R, 中心角a^{\circ}の扇形から, 半径r, 中心角a^{\circ}の扇形を引いた面積S_0は次の式で表される。
S_0=W\ell
ただし\ellは幅Wの部分の中央線である。

証明

    \begin{align*}S_0&=\pi R^2 \times \dfrac{a}{360}-\pi r^2 \times \dfrac{a}{360}\\ &=(\pi R^2-\pi r^2) \times \dfrac{a}{360}\\ &=\pi(R+r)(R-r) \times \dfrac{a}{360}\\ &=\pi(R+r) \times \dfrac{a}{360} \times W\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\\\end{align*}



    \begin{align*}\ell&=2 \pi \times (r+\dfrac{R-r}{2}) \times \dfrac{a}{360}\\ &=\pi(R+r) \times \dfrac{a}{360}\cdots\textcircled{\scriptsize 2}\\\end{align*}


\textcircled{\scriptsize 1}, \textcircled{\scriptsize 2}より,
S_0=W \ell\cdots(証明終わり)

このような考え方を使って, 直円錐の側面積の一部分を考える。先の扇形と同じように半径TBの扇形から, 半径TAの扇形を引いた面積S_1は次の式で与えられる。
S_1=\ell\cdot AB\cdots\textcircled{\scriptsize 3}
ただし、\ellは幅ABの部分の中央線である。

PABの中点で\ell上にあり, Pから直円錐の高さに下ろした垂線と高さの交点をQとし, Pを通りABに垂直な線と高さの延長線との交点をOとすると,
\ell=2 \pi\cdotPQであるから, \textcircled{\scriptsize 3}式は
S_1=2 \pi\cdotPQ\cdot AB \cdots\textcircled{\scriptsize 4}
また△ACB∽△PQOであるから,
OP : PQ = AB : AC
これより,
PQ\cdot AB = OP\cdot AC\cdots\textcircled{\scriptsize 5}
\textcircled{\scriptsize 4}\textcircled{\scriptsize 5}より,
S_1=2 \pi\cdot OP\cdot AC\cdots\textcircled{\scriptsize 6}

球を直径QRの半円を1回転させてできる立体と考える。その半円を図のように4等分して頂点を結ぶと, ちょうど正八角形の半分ができる。

これをQRを軸として回転させてできる立体の表面積S_2を考えるとき, 先の\textcircled{\scriptsize 6}の式を使って,
次のように与えられる。
S_2=2 \pi OP\cdot QA_1+2 \pi OP\cdot A_1O+2 \pi OP\cdot OA_2+2 \pi OP\cdot A_2R
=2 \pi OP \times (QA_1+A_1O+OA_2+A_2R)
=2 \pi OP\cdot QR\cdots\textcircled{\scriptsize 7}
上の\textcircled{\scriptsize 7}式は, 4等分での結果の式であるが, これをn等分にしても同じ結果が得られるのは気づいていただけたでしょうか。
従ってn等分した時の面積S_nは同様に
S_n=2 \pi OP\cdot QR\cdots\textcircled{\scriptsize 8}
このnを無限に近づけていくと, OPQRの半分すなわち半径に等しくなる。この半円の半径をrとすると,
OP=r, QR=2rとなり,
これを\textcircled{\scriptsize 8}に代入すると,

    \begin{align*}S_n&=2 \pi r\cdot 2r\\ &=4\pi r^2\\\end{align*}


となる。従って半径rの球の表面積S
S=4\pi r^2\cdots(証明終わり)

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中学数学:球の体積の何で?

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