高校数学:三角比の相互関係②90°-θの三角比

こんにちは。相城です。今回は三角比の相互関係②ということで, \sin\theta\thetaの部分が90^{\circ}-\thetaになった場合, どのような関係ができるか, 見ていきましょう。

90°-θの三角比

まず結論から書くとこうなります。

90°ーθの三角比
\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta
\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta
\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}

90°-θの三角比のなぜ?

なぜかと言うと以下の画像で説明します。
まず, 斜辺r, 対辺(高さ)y, 隣辺(底辺)x, 斜辺と隣辺(底辺)のなす角を\thetaとする直角三角形を用意します。

このとき, \sin, \cos, \tanは,
\sin\theta=\dfrac{y}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize1}
\cos\theta=\dfrac{x}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize2}
\tan\theta=\dfrac{y}{x}\cdots\textcircled{\scriptsize3}
となります。


次に, 三角形の内角の関係より, 2つの内角が, 90^{\circ}, \thetaであるから, 残りの内角は90^{\circ}-\thetaなので, その角が底辺の左側, 右側に90^{\circ}がくるように描くと, 下図中の左側のようになります。

このとき, 90^{\circ}-\thetaにおいて, それぞれ\sin, \cos, \tanを求めると,
\sin\left(90^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{x}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize4}
\cos\left(90^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{y}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize5}
\tan\left(90^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{x}{y}\cdots\textcircled{\scriptsize6}
これから\textcircled{\scriptsize1}\textcircled{\scriptsize5}, \textcircled{\scriptsize2}\textcircled{\scriptsize4}が一致し, \textcircled{\scriptsize3}\textcircled{\scriptsize6}が逆数の関係になります。
以上より
\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta
\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta
\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}
が得られます。

次に円を用いて考えてみましょう。少々難しく書いてますが, やってることは同じです。

斜辺r,対辺(高さ)y, 隣辺(底辺)xとし, 斜辺と隣辺(底辺)のなす角を\thetaとする。この直角三角形をxy平面上に隣辺(底辺)がx軸と接し, \thetaを持つ頂点が原点と重なるようにように設置する。
このとき, 原点を中心とし, 半径rの円を描くと図のようになり, 円と三角形が接してできる点の座標は(x, y)となります。
また, 90^{\circ}-\thetaは先の直角三角形の隣辺(底辺)がy軸と接し, \thetaを持つ頂点が原点と重なったときにできる図中の赤い色の角で, 赤色の三角形で考えればよい。このとき, この三角形と円が接してできる座標は図より(y, x)となります。
\theta, 90^{\circ}-\thetaにおいて, それぞれ\sin, \cos, \tanを求めると,
\sin\theta=\dfrac{y}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize1}
\cos\theta=\dfrac{x}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize2}
\tan\theta=\dfrac{y}{x}\cdots\textcircled{\scriptsize3}
\sin\left(90^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{x}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize4}
\cos\left(90^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{y}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize5}
\tan\left(90^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{x}{y}\cdots\textcircled{\scriptsize6}
これから\textcircled{\scriptsize1}\textcircled{\scriptsize5}, \textcircled{\scriptsize2}\textcircled{\scriptsize4}が一致し, \textcircled{\scriptsize3}\textcircled{\scriptsize6}が逆数の関係になります。
以上より
\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta
\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta
\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}
が得られます。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)