TikZ：高校数学：三角比は円を使って求めよう

こんにちは。相城です。今回は三角比について書いておきます。

$\sin\theta$ , $\cos\theta$ , $\tan\theta$ も円で考えれば, 間違いが減るのではないでしょうか。もちろん, 基本的な考え方は, 45 $^{\circ}$ , 45 $^{\circ}$ , 90 $^{\circ}$ や30 $^{\circ}$ , 60 $^{\circ}$ , 90 $^{\circ}$ の直角三角形をイメージして考えるのですが。

円を使ってsin,cos,tan

以下のような半径 $r$ の円があって, その円周上の点をP( $x$ , $y$ )とする。 $\angle{\text{AOP}}=\theta$ とするとき, $\sin\theta$ , $\cos\theta$ , $\tan\theta$ は以下の式で求められます。

定義

$\sin\theta=\dfrac{y}{r},\ \cos\theta=\dfrac{x}{r},\ \tan\theta=\dfrac{r}{x}$

ただし, $\theta=90^{\circ}, 270^{\circ}$ など, Pが $y$ 軸にくる場合では, $\tan\theta$ は定義されない(分母が0になるため)とする。
図の $\theta$ は鋭角ですが, $\theta$ が鈍角になっても考え方は同じで, 円周上の座標で考えます。また, 高2になれば180 $^{\circ}$ を越えて扱いますが, これと同じ考え方を用います。ですから, この考え方は高1で頭に入れておいた方が, その後スムースに学習できます。

円を使って求めてみよう

せっかくなので, 少し例題をやってきまでょう。
次の値を求めなさい。
$\sin45^{\circ}$ , $\cos45^{\circ}$ , $\tan45^{\circ}$

$\sin45^{\circ}=\dfrac{y}{r}=\dfrac{1}{\sqrt2}$
$\cos45^{\circ}=\dfrac{x}{r}=\dfrac{1}{\sqrt2}$
$\tan45^{\circ}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{1}=1$

次の値を求めなさい。
$\sin30^{\circ}$ , $\cos30^{\circ}$ , $\tan30^{\circ}$

$\sin30^{\circ}=\dfrac{y}{r}=\dfrac{1}{2}$
$\cos30^{\circ}=\dfrac{x}{r}=\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\tan30^{\circ}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{\sqrt3}$

次の値を求めなさい。
$\sin120^{\circ}$ , $\cos120^{\circ}$ , $\tan120^{\circ}$

$\sin120^{\circ}=\dfrac{y}{r}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos120^{\circ}=\dfrac{x}{r}=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}$
$\tan120^{\circ}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$

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