TikZ:高校数学:三角比は円を使って求めよう

こんにちは。相城です。今回は三角比について書いておきます。

\sin\theta, \cos\theta, \tan\thetaも円で考えれば, 間違いが減るのではないでしょうか。もちろん, 基本的な考え方は, 45^{\circ}, 45^{\circ}, 90^{\circ}や30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}の直角三角形をイメージして考えるのですが。

円を使ってsin,cos,tan

以下のような半径rの円があって, その円周上の点をP(x, y)とする。\angle{\text{AOP}}=\thetaとするとき, \sin\theta, \cos\theta, \tan\thetaは以下の式で求められます。

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    \[\sin\theta=\dfrac{y}{r},\ \cos\theta=\dfrac{x}{r},\ \tan\theta=\dfrac{r}{x}\]


図の\thetaは鋭角ですが, \thetaが鈍角になっても考え方は同じで, 円周上の座標で考えます。また, 高2になれば180^{\circ}を越えて扱いますが, これと同じ考え方を用います。ですから, この考え方は高1で頭に入れておいた方が, その後スムースに学習できます。

円を使って求めてみよう

せっかくなので, 少し例題をやってきまでょう。
次の値を求めなさい。
\sin45^{\circ}, \cos45^{\circ}, \tan45^{\circ}

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\sin45^{\circ}=\dfrac{y}{r}=\dfrac{1}{\sqrt2}
\cos45^{\circ}=\dfrac{x}{r}=\dfrac{1}{\sqrt2}
\tan45^{\circ}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{1}=1

次の値を求めなさい。
\sin30^{\circ}, \cos30^{\circ}, \tan30^{\circ}

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\sin30^{\circ}=\dfrac{y}{r}=\dfrac{1}{2}
\cos30^{\circ}=\dfrac{x}{r}=\dfrac{\sqrt3}{2}
\tan30^{\circ}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{\sqrt3}

次の値を求めなさい。
\sin120^{\circ}, \cos120^{\circ}, \tan120^{\circ}

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\sin120^{\circ}=\dfrac{y}{r}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\cos120^{\circ}=\dfrac{x}{r}=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}
\tan120^{\circ}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}

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