高校数学:なぜsin^2θ+cos^2θ=1なのか

こんにちは。相城です。今回はなんで\sin^2\theta+\cos^2\theta=1になるか書いておきます。

なんで\sin^2\theta+\cos^2\theta=1なの?
図のように原点Oからの距離が1の点はどんな軌跡をえがくでしょうか。
こういう問いがあったとき, まずは原点から距離が1離れた点P(x, y)として考えてみる。
このとき, 三平方の定理より明らかにx^2+y^2=1となり,
これは原点Oを中心とした半径1の円と等しくなることが分かるでしょうか。
原点Oを中心にくるくる回してみてください。コンパスと同じ動きをするのが分かると思います。
このP(x, y)の座標は, いま線分OPとx軸がなす角を\thetaとすると,
\cos\theta=\dfrac{x}{\text{OP}}=x, \sin\theta=\dfrac{y}{\text{OP}}=y
つまり,
x=\cos\theta, y=\sin\theta
であるから, これをx^2+y^2=1に代入して,
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
を得る。
同様な理由で, 半径OPがaの場合でこれを一般化すると,
a^2\sin^2\theta+a^2\cos\theta=a^2
となり, 結果,
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
が得られる。

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