TikZ:中学数学:n角形の対角線の本数を求める式

こんにちは。今回はn角形(n\geqq 3)の対角線の本数が何で\dfrac{n(n-3)}{2}(本)で求められるか書いていこうと思います。中学数学としていますが, 高校数学で習うかもしれません。
まず, 五角形の対角線の本数を見ることで, n角形へと一般化していこうと思います。

5角形の対角線の本数

以下の図のように5角形の1つの頂点Aからは2本の対角線AC, ADが引けます。

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これはどういうことかと言いますと, 1つの頂点から引ける対角線は, 自分自身(今回なら頂点A)とその両隣(頂点B, E)の3つには対角線は引けないことになります。したがって, 5角形の5つの頂点から3つを引いた2つの頂点に対角線が引けるので5-3=2(本)の対角線が引けます。
そこで単純に, 5角形の場合, 2本の対角線が引ける頂点が5つあるので, 対角線の総本数を2\times5=10(本)としてしまうと誤りになります。それはなぜかと言うと, 対角線ACというものは, 頂点Aからも, 頂点Cからも引くことができるので, 先の計算では, 同じ対角線を2回数えてしまいます(2本重なってしまいます)。この現象はすべての対角線に言えることなので, 10を2で割ります。したがって5角形の対角線の総本数は10\div2=5(本)となります。

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n角形の対角線の本数

一般化すると,

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n角形の場合, 1つの頂点から3つの頂点(自分とその両隣)には対角線が引けないので, 1つの頂点からはn-3本の対角線が引けます。その頂点がn個あるので, n(n-3)本の対角線が引けますが, そのままだと同じ対角線を2回数えることになるので, これを2で割ってn角形の対角線の本数を求めます。
よってn角形の対角線の本数は
\dfrac{n(n-3)}{2}(本)
となります。

n角形の対角線の総本数
\dfrac{n(n-3)}{2}(本)

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