TikZ:中学数学：n角形の対角線の本数を求める式

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こんにちは。今回は $n$ 角形 $(n\geqq 3)$ の対角線の本数が何で $\dfrac{n(n-3)}{2}$ (本)で求められるか書いていこうと思います。中学数学としていますが, 高校数学で習うかもしれません。
まず, 五角形の対角線の本数を見ることで, $n$ 角形へと一般化していこうと思います。

5角形の対角線の本数

以下の図のように5角形の1つの頂点Aからは2本の対角線AC, ADが引けます。

これはどういうことかと言いますと, 1つの頂点から引ける対角線は, 自分自身(今回なら頂点A)とその両隣(頂点B, E)の3つには対角線は引けないことになります。したがって, 5角形の5つの頂点から3つを引いた2つの頂点に対角線が引けるので $5-3=2$ (本)の対角線が引けます。
そこで単純に, 5角形の場合, 2本の対角線が引ける頂点が5つあるので, 対角線の総本数を $2\times5=10$ (本)としてしまうと誤りになります。それはなぜかと言うと, 対角線ACというものは, 頂点Aからも, 頂点Cからも引くことができるので, 先の計算では, 同じ対角線を2回数えてしまいます(2本重なってしまいます)。この現象はすべての対角線に言えることなので, 10を2で割ります。したがって5角形の対角線の総本数は $10\div2=5$ (本)となります。

n角形の対角線の本数

一般化すると,

$n$ 角形の場合, 1つの頂点から3つの頂点(自分とその両隣)には対角線が引けないので, 1つの頂点からは $n-3$ 本の対角線が引けます。その頂点が $n$ 個あるので, $n(n-3)$ 本の対角線が引けますが, そのままだと同じ対角線を2回数えることになるので, これを2で割って $n$ 角形の対角線の本数を求めます。
よって $n$ 角形の対角線の本数は
$\dfrac{n(n-3)}{2}$ (本)
となります。

n角形の対角線の総本数

$\dfrac{n(n-3)}{2}$ (本)

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5角形の対角線の本数

n角形の対角線の本数

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