TikZ:三平方の定理(ピタゴラスの定理)とその証明

こんにちは。三平方の定理(ピタゴラスの定理)が成り立つことを相似を用いて証明しよう。
三平方の定理(ピタゴラスの定理)は以下のような定理です。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)

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直角三角形の斜辺をc, 直角を挟む2辺をa, bとすると,
c^2=a^2+b^2
が成り立ちます。この関係を三平方の定理(ピタゴラスの定理)といいます。

三平方の定理の証明(相似編)

相似を用いてこれを証明していきましょう。
以下のように直角三角形ABCの頂点Cから辺ABに垂線を下ろし, 交点をDとします。AB=c, BC=a, CA=b, BD=dとします。

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このとき, △ABC∽△CBD(2組の角がそれぞれ等しい)から次の辺の比が言えます。
AB : CB=BC : BD
c : a = a : d
これより
cd=a^2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
また, △ABC∽△ACD(2組の角がそれぞれ等しい)から次の辺の比が言えます。
AB : AC=AC : AD
AD=c-dなので
c : b = b : (c-d)
これより
c(c-d)=b^2
c^2-cd=b^2\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
\textcircled{\scriptsize 1}+\textcircled{\scriptsize 2}(左辺同士, 右辺同士加える)より
c^2=a^2+b^2
が得られる。(終わり)

三平方の定理の証明(面積編)

面積の関係を用いて証明していきましょう。
以下のように斜辺がc, 直角を挟む2辺がa, bの合同な直角三角形を4枚用意して, 図のように並べて, 1辺がcの正方形ABCDをつくりました。

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このとき, 外側の正方形の1辺であるABはAB=c, BR=a, RA=b, 中にできた正方形PQRSの1辺であるQRは, QR=b-aとなります。
この正方形ABCDの面積S
1辺\times1辺で求めると
S=c\times c=c^2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
また, この正方形ABCDの面積Sは, 直角三角形4枚と正方形PQRSの面積の和として求めても同じことなので, この方法で正方形ABCDの面積Sを求めると,
S=\dfrac12 \times a\times b\times 4+(b-a)^2
=2ab+b^2-2ab+a^2
=a^2+b^2\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
\textcircled{\scriptsize 1}=\textcircled{\scriptsize 2}なので,
c^2=a^2+b^2
が成り立つ。(終わり)

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