攻略法:平行四辺形と面積①

こんにちは。今回は平行四辺形と面積についてです。

平行四辺形の面積比の問題では, 平行四辺形の面積の半分(1つの対角線で区切った三角形)を求めて2倍すれば,
平行四辺形の全体の面積が求めることができる。ケースバイケースであるかもしれないが, 半分を求めればいいという意識があるだけでも
見方は変わってくる。その典型的な問題を2つ解いてみよう。

上の図で, 右の図で四角形ABCDは平行四辺形で, Pは辺ADを2 : 1に分ける点である。線分PBと線分ACの交点をQとするとき, 次の問いに答えなさい。
(1) 四角形PQCDの面積と平行四辺形ABCDの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

平行四辺形の面積比問題の場合の攻め方は, 相似な図形がある場合は, ケースバイケースであるが, その相似な図形の対応する辺の比を求めて2乗することを個人的にはお勧めする。あとは辺の比で面積の割合が求まってしまう。ここでいう求まってしまうのは, 平行四辺形の面積の半分で, それを2倍すれば全体は容易に求まる。では解いてみましょう。

上の図で, AP : CB=2 : 3(△AQP∽△CQB)であるから, △AQP : △CQB= :
△AQB=xとおくと, PQ : QB=2 : 3(△AQP∽△CQB)より, 2 : 3= : x, よって, x=

これで平行四辺形の面積の半分(△ABC)がであるから, 四角形PQCD=(△ADC)-(△AQP)=

よって, 四角形PQCDの面積と平行四辺形ABCDの面積の比は
11 : 30

である。

下の図の平行四辺形ABCDで, 辺AB, BC, CDの中点をそれぞれ, E, F, Gとする。
このとき, 次の問いに答えなさい。

(1) 五角形AEFCGの面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍か求めなさい。
この問題も平行四辺形の半分を考える。対角線ACを引いて解いていく問題である。

△BEF∽△BACで, 相似比は1 : 2であるから, 面積比は① : ④。したがって,
△BEFと四角形EFCAの面積比は① : ③。これですでに平行四辺形の面積の半分(△ABC)は④であることが分かった。つまり, △ACD=④になり, DG : GC=1 : 1であるから, △ACG=△AGD=②となる。
以上より, 五角形AEFCGの面積は⑤, 平行四辺形ABCDの面積は⑧であるから, \dfrac58倍である。

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