TikZ：2020年度入試：大阪府C・放物線の問題

こんにちは。今回は大阪府のC問題を取り上げてみます。いい問題ですので取り組んでみてください。それではどうぞ。

$a$ , $b$ を正の定数とする。下の図において, $m$ は関数 $y=ax^2$ のグラフを表し, $\ell$ は関数 $y=bx+4$ のグラフを表す。 $n$ は $\ell$ と平行な直線であり, その切片は $-3$ である。四角形ABCDは正方形であり, ABは $x$ 軸に平行であって, 辺ADは $y$ 軸に平行である。Aは $m$ 上にあり, その $x$ 座標は4である。Bは $\ell$ 上にあり, Dは $n$ 上にある。Cの $x$ 座標は $-2$ であり, Cの $y$ 座標はBの $y$ 座標より小さい。 $a$ , $b$ の値をそれぞれ求めなさい。途中の式も含めた求め方も書くこと。ただし, 座標軸の１めもりの長さは1cmであるとする。

答え

問題より, 正方形の一辺の長さは6とわかります。 $4-(-2)=6$
また, $\ell$ , $n$ は平行なので, $n$ の式は $y=bx-3$ と置くことができます。
A, B, C, Dの座標を $a$ , $b$ を用いて表すと,
A( $4$ , $16a$ ), B( $-2$ , $-2b+4$ ), C( $-2$ , $4b-3$ ), D( $4$ , $4b-3$ )
※A( $4$ , $-2b+4$ )としても可
このとき, 辺BCの長さを $b$ を用いて表すと,
$(-2b+4)-(4b-3)=-6b+7$
これが6と等しいので,
$-6b+7=6$
$b=\dfrac16$
またA, Bの $y$ 座標は等しいので,
$16a=-2b+4$
これに $b=\dfrac16$ を代入し,
$a=\dfrac{11}{48}$
よって
$a=\dfrac{11}{48}, b=\dfrac16$ ・・・答え

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