中学数学:攻略・ブーメランを使いこなせ

こんにちは。相城です。ブーメランを使いこなすと結構便利です。それではどうぞ。

ブーメランって何?

右の公式を習ったことを覚えているだろうか。僕はこれをブーメランと呼んでいます。
このブーメランでは次の公式が成り立つ。

    \[\angle{d}=\angle{a}+\angle{b}+\angle{c}\]


このブーメランは結構活躍すると思うのだが, 実際の入試ではあまり見かけない。定期テストとかで, でてきたとき, たまたま入試で出題されたときなんかにご利用ください。

どんなときに使うか

どんなときに使うのか。例を3つほど書きました。
下の左の星形の印を付けた5つの角の和は180^{\circ}であることはご存知でしょう。赤のブーメランの3つの角の和は\angle{\text{DFC}}と一致します。つまり印を付けた角の和は\angle{\text{DFC}}の内角の和と一致するのです。

もう一つはその右の図。同じような7つの印を付けた角の和を求めるとき, 赤のブーメランの角の和は\angle{\text{DHG}}と一致します。
つまり, 印を付けた7つの角の和は五角形DHGFEの内角の和と一致します。よって, 印を付けた7つの角の和は540^{\circ}となります。

中3で出てくる円周角の問題でも使えちゃいます。下の\angle{x}は円周角の定理より30^{\circ}。赤のブーメランは公式より\angle{y}=85^{\circ}-30^{\circ}\times2=25^{\circ}となります。

このように結構使えるので, このブーメラン公式は覚えておきましょう。

これにも使える

ブーメランの公式を用いると,中2で習う下の図で\angle{x}を求める問題で,

    \[\angle{x}=\angle{a}+(\bullet+\times)\]


    \[\angle{a}=\angle{x}-(\bullet+\times)\]


が成り立ちます。

実際下の問題では,

    \[2\bullet+2\times=140^{\circ}\]


両辺2で割って,

    \[\bullet+\times=70^{\circ}\]

よって,

    \[\angle{x}=40^{\circ}+70^{\circ}=110^{\circ}\]


となります。

△OBCから\bullet\timesを引いて\angle{x}を求めるという考え方でも

    \[\angle{x}=180^{\circ}-(\bullet+\times)=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}\]


と答えは一致します。

また別の公式

    \[\angle{x}=90^{\circ}+\dfrac{\angle{a}}{2}\]


と照らし合わせると,

    \[\angle{a}+(\bullet+\times)=90^{\circ}+\dfrac{\angle{a}}{2}\]


より,

    \[\bullet+\times=90^{\circ}-\dfrac{\angle{a}}{2}\]


となりますが, これは単純に△ABCの内角の和
(\angle{a}+2\bullet+2\times=180^{\circ})から導けるものです。

いろいろ面白いですね。

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