中学数学:攻略・関数と線分の長さ(文字置き不要)

こんにちは。相城です。さて, 今回は関数と線分の長さの攻略法というか, 一つの解き方の提案をいたします。今まであった解き方かもしれませんが, この解法での解説を今まで拝見したことがなかったので, 提案としました。それではどうぞ。

例題

右の図で, 直線\ellは関数y=x-4のグラフであり, 直線mは関数y=\dfrac13 x+2のグラフである。 点Aは直線\ellmとの交点で, 点Bは直線\ellx軸との交点, 点Cは直線my軸との交点である。線分AC上に点A, Cと異なる点Pをとり, 点Pを通りy軸に平行な直線を引き, 直線\ellとの交点をQとする。 PQ=2となるときの点Pの座標を求めなさい。

一般的な解法?(文字置き)

この問題の代表的な(個人の感想です。)を示したいと思います。
求めたいPの座標を文字を使って表します。Pのx座標をtと置くと, P\left(t, \dfrac13 t+2 \right)となり, PQ//y軸 だから, Qのx座標もtなので, Qをtを用いて表すと, Q(t, t-4)となります。
ここで,
\text{PQ}=(\text{P}y座標)-(\text{Q}y座標)
で, PQ=2であるから, 次の方程式ができます。

    \[\left(\dfrac13 t+2\right)-(t-4)=2\]


これを解いて, t=6
したがって, 求めるPの座標は, P(6, 4)

図形の性質を使って解く(文字置き不要)

次はこれとは違った, 図形の性質を使って求めてみたいと思います。座標を文字で置くことはございません。以下ににそれを書きました。

【方針】四角形COQPが平行四辺形になるこを用いて解くことにします。
したがって, 点Cから下に2(PQ=2より)進んだ原点Oを通り, 直線mに平行な直線\left(y=\dfrac13 x \right)\ellの交点がQになり, Qのx座標とPのx座標が等しいことからPの座標を求めるという解法でやってみます。

【方針】より, 原点Oを通りmに平行な直線はy=\dfrac13xで, これと\ellの交点Qのx座標を 求めるために方程式をつくると,

    \[\dfrac13x=x-4\]


これを解いて, x=6(Qのx座標) となり, これはPのx座標でもあるので, x=6を直線mに代入すると,

    \[y=\dfrac13 \times6+2=4\]


よって, Pの座標は, P(6, 4)

【別解】Qを求めると, Q(6, 2)でPはQより上に2進んだところなので, P(6, 4)としてもよい。

この解法は, 今回だけの特殊な場合ではなさそうですね。PQ=5なら点Cから下に5進んだ点を通り, 直線mに平行な直線を 考えることで, 同様にできることがわかるでしょう。ではでは。

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