中学数学:攻略・関数と図形(正方形になる)

こんにちは。相城です。今回は関数と図形の中でも頻出になる正方形になるときの云々の問題の攻略法を見ていきましょう。下部に中3生の放物線の問題の動画を載せています。それではどうぞ。

縦の長さ=横の長さと式をつくる

関数と図形問題で 正方形になるときの座標云々の攻略法は一言で言えば

攻略法
(縦の長さ)=(横の長さ)と式をつくる

これでほぼ解ける。
ただ座標を文字で置かなければならないのがほとんどなので,
日頃から座標を文字で表すことに慣れておく必要がある。

例題を見ていきましょう

【例題】関数y=2x^2(下のグラフの内側) ,y=x^2(下のグラフの外側)があり, y=x^2のグラフ上に点Aをとり, 点Aを通りy軸に平行な直線とy=2x^2のグラフの交点をBとする。 このとき, ABを1辺とする正方形ABCDをつくる。点C, Dがy軸上にあるとき点B の座標を求めなさい。ただしBのx座標は正とします。

【考え方】まずは起点となる点を決める。ここではAを起点(基準)に話を進めていく。 Aのx座標を文字tとすると, Aの座標は, A(t , t^2)と表せる。このとき, AとBのx座標は等しいので, Bの座標をtで表すとB(t , 2t^2)となる。ここで,

    \[\text{AB}=2t^2-t^2=t^2\]


また, AD=t
(縦の長さ)=(横の長さ)

より,
AB=ADとして, 方程式をつくると,
t^2=t
t^2-t=0
t(t-1)=0
t=0, 1
t>0より, t=1
よってB(1 , 2)

このように正方形になる問題では, (縦の長さ)=(横の長さ)とおくことで問題を解決できることが多いので, この技はぜひ習得していただきたい。入試問題でも頻出傾向にあるので, 注視しましょう。また, x軸やy軸に平行な辺の長さを求めるときは,
横方向の長さ=(x座標の大きい方)-(x座標の小さい方)=(右の座標)-(左の座標)
縦方向の長さ=(y座標の大きい方)-(y座標の小さい方)=(上の座標)-(下の座標)
等を用いて間違えないようにしましょう

問題と動画(中3放物線)

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