中学数学:攻略・関数と図形(三角形)

こんにちは。相城です。今回はグラフと三角形について簡単に触れたいです。後半部分は等積変形使ったりしてますが。考え方の例として受け止めてくださればと思います。それではどうぞ。

x軸, y軸に平行な辺があるとき

三角形の面積の問題(x軸, y軸に平行な辺があるとき。)

例題1
関数y=\dfrac{1}{2}x+2, y=-x+5が点Aで交わっている。
またy軸に平行でx座標が-2の直線と2つのグラフの交点をP, Qとするとき,
△APQの面積を求めなさい。
考え方
この手の問題はx軸, y軸に平行な直線がある場合は, それを底辺として考えると, 片付く問題がほぼ100\%になります。この場合線分PQがy軸に平行なので, 線分PQを底辺とすれば三角形の面積は簡単に求まります。

攻略法
x軸, y軸に平行な直線がある場合は, それを底辺として考える

x軸, y軸に平行な辺がないとき

次に, 三角形の底辺と思われるものが, x軸, y軸に対して斜めになっている場合は, その三角形が, ちょうど入る長方形を作り余分な三角形を引けば求まる。しかし, ここでは二次関数を例に公式的なもので求めてみます。

例題2
右の図はy=x^2のグラフで, そのグラフ上に3点A(-2, 4), B(1, 1), C(3, 9)をとったものです。このとき, △ABCの面積を求めなさい。
考え方
このとき直線ABの式(y=x+6)を求めて, 点Bからy軸に平行な直線と直線ABとの交点をDとするとD(1, 7)となり, 幅①\times 幅②\div2で求まる。もちろん, 幅①を底辺として, 左右2つの三角形の面積を別々に求めて最後に足してもよい。

また, もう1つの解法は, 等積変形です。直線ABの傾きを求め, 直線ABに平行で点Bを通る直線を求める(この場合y=x)。この直線とy軸との交点(この場合原点)を求めて, 先と同様に幅①\times幅②\div2で求めてもよい。


さらに, もう1つ等積変形ですが, x軸またはy軸に平行に頂点を動かしてやることも可能である。

等積変形はどの頂点を動かせば効率が良いか, という観点から見るとよい。特に直線の式の傾きが知れる場合は, それに平行な直線で考えてみるのもよい。

攻略法
x軸, y軸に平行な直線がない場合は, 幅①\times幅②\div2, 幅①で2つの三角形に分ける。等積変形などを使おう


あと原点が1つの頂点である場合, 2つの座標をたすきがけしたものの差の絶対値の\dfrac{1}{2}で求められます。紹介だけしておきます。

公式
3点(0, 0), (a, b), (c, d)を頂点とする三角形の面積S
S=\dfrac{1}{2}|ad-bc|
|\hspace{3mm}|は絶対値の記号(例:|-5|=5)

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