高校数学:公式・メネラウスの定理とその証明

こんにちは。相城です。今回はメネラウスの定理とその証明を見ていきましょう。

メネラウスの定理

下の図の△ABCで, 点F, EはそれぞれAB,AC上の点で, BCの延長線とFEの延長線の交点をDとします。このとき,

    \[\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c+d}{d}\times \dfrac{e}{f}=1\]


が成り立つ。この定理をメネラウスの定理という。

基本の動き方 ①→②→③→④→⑤→⑥の順で動きます。

証明

Cを通り、FDに平行な直線とABの交点をGとする。
CG//DFより, BG : GF=c:dであるから, の長さを\textcircled{\scriptsize b}を使って表すと,

また, △AGCで, FE//GCであるから,

dを①で置き換えると,

つまり,

両辺を整理すると,

    \[\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c+d}{d}=\dfrac{f}{e}\]


両辺に\times \dfrac{e}{f}すると

    \[\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c+d}{d}\times \dfrac{e}{f}=1\]


ちなみに, =1ということは, 分子, 分母を全て反対にしても=1なので,

    \[\dfrac{b}{a}\times \dfrac{d}{c+d}\times \dfrac{f}{e}=1\]


とも書ける。

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