中学数学：攻略・多面体の辺や頂点のからくり

こんにちは。相城です。今回は正多面体のとらえ方です。普通の多面体にも使えるので, 押さえておいてください。

多面体はこう考えてみよう

図1は正四面体の見取り図です。辺の数や頂点の数を求めるのはそんなに苦ではないでしょう。見て数えられるし, その方が早いかもしれません。ここでは立体の辺の数や頂点の数の数え方について, 少し触れてみましょう。
まず, 正多面体とはすべての面が合同な正多角形でできており, どの頂点にも集まる面の数が同じの立体です。定義はこんな感じですが, どの頂点に集まる辺の数も実は同じだったりします。まぁそんなことはさておき, 図1は正四面体で, 合同な正三角形が4つあります。正三角形は辺の数が3本, 頂点が3つですから, 全部で辺の数は
$3\times4=12$ (本)
同じく頂点の数は
$3\times4=12$ (個)
あります。
ここで1本の辺を作るのに必要な三角形は2枚ですから, 実際に合同な正三角形を4つ使ってできる辺の数は
$12\div2=6$ (本)
1つの頂点に集まる面の数は3つですから, 実際に組み立ててできる頂点の個数は
$12\div3=4$ (個)
となります。

図2は正十二面体です。面はすべて合同な正五角形からできており, 先ほどと同じ考え方でいけば, 正五角形の辺の数, 頂点の数はともに5つで,
全部で辺の数は
$5\times12=60$ (本)
頂点の数は
$5\times12=60$ (個)
あります。
しかし, 実際辺を作るのに必要な面の数は2つなので, 実際組み立ててできる辺の数は
$60\div2=30$ (本)
1つの頂点を作るのに必要な面の数は図2より3つなので, 実際にできる頂点の数は
$60\div3=20$ (個)
となります。
この考え方は正多面体だけでなく, いろいろな立体に応用が利くので是非マスターしておきたいですね。
また、オイラーという偉い人が発見した多面体の定理を紹介しておきます。
(頂点の個数)＋(面の数)－(辺の数) $=2$

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