中学数学:連立方程式の一般解

こんにちは。相城です。題の通り, 連立方程式を文字で置いて解いてみようということです。

連立方程式の一般解を求めよう

連立方程式の一般式

    \begin{eqnarray*} \begin{cases}ax + by = c&\cdots\textcircled{\scriptsize 1} \\dx + ey = f&\cdots\textcircled{\scriptsize 2}    \end{cases} \end{eqnarray*}


を解いてみましょう。

先ず, xを消去するために\textcircled{\scriptsize 1}\times d, \textcircled{\scriptsize 2}\times aより,

    \begin{eqnarray*} \begin{cases}adx + bdy = cd&\cdots\textcircled{\scriptsize 1}' \\adx + aey = af&\cdots\textcircled{\scriptsize 2}'    \end{cases} \end{eqnarray*}


\textcircled{\scriptsize 1}'-\textcircled{\scriptsize 2}'より

    \begin{align*} (bd-ae)y&=cd-af\\ y&=\dfrac{cd-af}{bd-ae} \end{align*}


次にこのyの値を代入してもいいのですが, 面倒なので, もとの式でyを消去するようにします。
yを消去するために、\textcircled{\scriptsize 1}\times e, \textcircled{\scriptsize 2}\times bより,

    \begin{eqnarray*} \begin{cases}aex + bey = ce&\cdots\textcircled{\scriptsize 1}'' \\bdx + bey = bf&\cdots\textcircled{\scriptsize 2}''    \end{cases} \end{eqnarray*}


\textcircled{\scriptsize 1}''-\textcircled{\scriptsize 2}''より

    \begin{align*} (ae-bd)x&=ce-bf\\ x&=\dfrac{ce-bf}{ae-bd} \end{align*}


よって, この連立方程式の解は,

    \[(x,y)=\left(\dfrac{ce-bf}{ae-bd}, \dfrac{cd-af}{bd-ae}\right)\]


何か普通に終わってしまいましたね。これが連立方程式の一般解です。
しかし, ここでこの解のxまたはyのどちらでもよいので(ここではxにします。), 分子,分母に\times (-1)すると,

    \[x=\dfrac{bf-ce}{bd-ae}\]


これで解を書き直すと,

    \[(x, y)=\left(\dfrac{bf-ce}{bd-ae}, \dfrac{cd-af}{bd-ae}\right)\]


となり、解の2数の分母が同じであることが分かる。
yの分子,分母に-1を掛けても同様の結果が得られるのは明白である。分母が同じ結果とは興味深いですね。

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