中学数学:方程式の研究

こんにちは。相城です。方程式を違った角度から見てみようというのが今回の目標です。それではどうぞ。

中1の方程式

x+3=8という方程式
この場合、左辺のx+3と右辺の8が釣り合う(等しい)xの値を求める。
x=5

中2の連立方程式

文字を1つ消去して次元を下げる。その方法に
(i)加減法、(ii)代入法がある。
ここでは、グラフ的見方で捉えてみます。
2x+y=7\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
二元一次方程式⇒(変形)⇒y=-2x+7\cdots\textcircled{\scriptsize 2}一次関数
結論から言うと二元一次方程式\textcircled{\scriptsize 1}と一次関数\textcircled{\scriptsize 2}は同じである。
\textcircled{\scriptsize 1}を変形すると\textcircled{\scriptsize 2}の一次関数の直線の式が得られる。その直線上の点、 すなわち直線の座標(x, y)はすべて\textcircled{\scriptsize 2}を満たす。すなわち\textcircled{\scriptsize 2}の座標(x, y)\textcircled{\scriptsize 1} を満たす。よって\textcircled{\scriptsize 1}の解の集合も直線を表す。
連立方程式とは、異なる2直線の交点を求める作業なのである。
図1は以下の普通の連立方程式を表す。

    \begin{eqnarray*} \begin{cases}3x + y = 7 \\x - y = -3    \end{cases} \end{eqnarray*}

連立方程式の定数項(一次関数でいう切片)が違うだけの場合を不能(図2)という。
不能(解なし)

    \begin{eqnarray*} \begin{cases}x - y = -7 \\x - y = -3    \end{cases} \end{eqnarray*}

連立方程式の2式が同値の場合は不定(図3)という。
不定(解無数)

    \begin{eqnarray*} \begin{cases}3x + y = 2 \\6x +2y =4    \end{cases} \end{eqnarray*}

ただ、不定でもy=2xなどx:y=1:2とおける場合は、 その解をx=k,y=2kとして扱う場合がある。ただ中学生ではその扱いはしない? と思うのでここでは紹介だけにとどめておく。

中3の二次方程式

解法 (i)因数分解、(ii)平方完成、(**)解の公式がある。
二次方程式の一般式は次式で与えられる。

    \[ax^2+bx+c=0\cdots\textcircled{\scriptsize 3}\ \ a\neq 0\]


ここでこの解は、解の公式より次式で与えられる。

    \[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdots\textcircled{\scriptsize 4}\]


方程式的見方
まず左辺を平方完成させて変形していくと
a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=0
a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a}
両辺aで割って、
\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}
x+\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
これで\textcircled{\scriptsize 4}が得られました。
中学生では、二次方程式x^2-6x+5=0を因数分解したとき(x-1)(x-5)=0となり、これを満たす条件として、 (x-1)=0または(x-5)=0になるxを求めている。少し極端な言い方ですが、有理数の範囲で因数分解できないとき、解の公式を使えば答えが出てくる。 ただし、中学生は高校生の範囲の因数分解はできないので、解の公式が役に立つ場合が多いと考える。ただしx^2-5=0などは移項する方が簡単なのは言うまでもない。 また、\sqrt{b^2-4ac}の根号中のb^2-4acは負となることは中学の間ではない。 このことは後述するグラフ的見方において重要な役割を果たす。

補足(グラフ的解釈)
詳しくは高校生で学習してください。
\textcircled{\scriptsize 3}の2つの解を\alpha, \beta\ (\alpha<\beta)とすると、この\alpha,\betaは何を表しているのでしょうか。
もちろん二次方程式で、\alphaまたは\betaを式に代入すれば0になります。
ここでは中学生の範囲を超えてグラフの交点として考えてみます。
\textcircled{\scriptsize 3}を左辺と右辺で式に分けてみます。それぞれy=とおくと、

    \begin{eqnarray*} \begin{cases}y=ax^2+bx+c\cdots\textcircled{\scriptsize 5} \\y =0\cdots\textcircled{\scriptsize 6}    \end{cases} \end{eqnarray*}


ここで\textcircled{\scriptsize 5}は二次関数(放物線)、\textcircled{\scriptsize 6}はグラフ軸のx軸を表します。
\textcircled{\scriptsize 5}を平方完成すると
y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}
となり、グラフに表すと図4のようになる。ここでは(a>0)としてグラフを表す。


この\textcircled{\scriptsize 5}(二次関数)と\textcircled{\scriptsize 6}(x軸)との交点が、解の公式\textcircled{\scriptsize 4}で与えられるものそのものである。
また、解の公式の根号中のb^2-4acが次のようになると、解の個数が分かる。
b^2-4ac>0\cdots解2個(x軸との交点が2個存在)
b^2-4ac=0\cdots解1個(x軸と接する。交点が1個存在)
b^2-4ac<0\cdots解0個(x軸とは交わらない。実数解は存在しない)
またグラフの頂点を見ても分かるように、b^2-4ac>0ならa>0とも併せて、頂点のy座標は-\dfrac{b^2-4ac}{4a}<0となり、頂点はx軸より下になる。a<0の場合はx軸より上になる。
このb^2-4acは判別式と言ってかなり活躍するので、高校生になったらぜひ活用していただきたい。
図5にy=x^2-6x+5のグラフを書いてみました。y=0とおくとx=1,5となる。グラフ的な見方を利用すると、中1の方程式x+3=2x-5を考えると、実は2直線y=x+3,y=2x-5の交点のx座標だったりするのですね。面白いものです。

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