中学数学:円の面積の公式が成り立つ理由

こんにちは。相城です。今回は円の面積についてみていきましょう。

円の面積の公式の何で?

何で円の面積は, 円の半径をrとすると, (半径)\times(半径)\times\pi, つまり\pi r^2なのでしょう。

円周は(直径)\times\piで, 2\pi rで求まります。これは決めごとですが, そもそも円周の長さが基ではなく, 円周率を
 (円周率)=(円周)\div(直径)
と決めたことから,
 (円周)=(直径)\times(円周率)
となったと解釈する方が正しいでしょう。

円周率とは円周が直径の何倍になるかを表したもので, 偉い人が調べて, 円周は直径の3.1415926\cdots倍として,
小学校では円周率は約3.14として扱われています。中学校ではそれを厳密化するため\piとしています。\pi\neq3.14で, \pi=3.1415926\cdotsです。間違えないように。
では, 面積はなぜ(半径)\times(半径)\times\piで求まるのでしょうか。下に書いてみました。

円を6等分(中心角60^{\circ})して, 互い違いに並べたのが図1です。平行四辺形っぽいですね。次に12等分(中心角30^{\circ})して並べたのが図2です。最後に中心角を限りなく0^{\circ}にして並べていくと, その図形は長方形に近づいていきます。
このとき, その縦の長さは, 半径rで, 横の長さは, 円周2\pi r\dfrac12で, \pi rである。

したがって, 円の面積は(縦)\times(横)=r\times \pi r=\pi r^2

となります。

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