算数：数学：なんで割り算＝逆数をかけるなの？

こんにちは。相城です。さて、疑問解消の糸口を見ていきまでょう。

なんで割り算は逆数をかけるのと同じなの

最近はあまり聞かれなくなりましたが、なぜ割り算を掛け算に直すと、
$\div a = \times \dfrac{1}{a}$
になるのでしょうか。具体例を挙げて説明します。
まず、
$100\div10=10$ 　ですね。
ここで割られる数字100と割る数字10に同じ数字を掛けても答えは変わらないのをご存じでしょう。つまりこういうことです。

$\begin{align*}100\div10&=(100\times10)\div(10\times10)\\&=1000\div100\\&=10\end{align*}$

この理屈を分数の割り算などでも使っているのです。
$\dfrac{2}{3}\div \dfrac{7}{5}$ という計算式があったとします。
先ほどの理屈通り、割られる数字 $\dfrac{2}{3}$ 、割る数字 $\dfrac{7}{5}$ に
$\dfrac{7}{5}$ の逆数 $\dfrac{5}{7}$ を掛けてみます。
$\bullet$ ここで逆数を掛けるのは、割る数字を1にするためです。
すると、

$\begin{align*}\dfrac{2}{3}\div \dfrac{7}{5}&=\left(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7}\right)\div\left(\dfrac{7}{5} \times \dfrac{5}{7}\right)\\&=\left(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7}\right)\div 1\\&=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\\\end{align*}$

もとの式と $\textcircled{\scriptsize 1}$ から、 $\div\dfrac{7}{5}$ は $\times \dfrac{5}{7}$ と同じ役割をすることが分かります。
文字で置き換えると、

$\begin{align*}\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}&=\left(\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}\right)\div\left(\dfrac{c}{d}\times\dfrac{d}{c}\right)\\&=\left(\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}\right)\div1\\&=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}\\\end{align*}$

となります。 $\div$ 整数も同じ理屈です。お粗末でした。

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