TikZ：2020年度徳島県・図形(平面・立体)

こんにちは。相城です。2020年徳島県で行われた入試問題からです。それではどうぞ。テントの絵はTikZではございません。手書きです。それではどうぞ。

ゆうとさんは、1泊2日の野外活動に参加した。(1)～(3)に答えなさい。

(1) 野外活動に参加する40人で、テントと寝袋を借りることになった。1泊分のテントと寝袋の利用料金は、8人用テントが1張2000円、4人用テントが1張1200円、寝袋が1人分500円である。8人用テントを $a$ 張、4人用テントを $b$ 張、寝袋を40人分借り、それらの利用料金の合計を40人で均等に割って支払うとき、1人あたりの支払う金額を $a$ 、 $b$ を用いて表しなさい。ただし、消費税は考えないものとする。
(2) ゆうとさんは、図1のような8人用テントを使うことになった。8人用テントの底面のシートは、図2のように正八角形で、対角線ABの長さは5mである。テントの底面のシートを、図2のように対角線で分けて8人で使うとき、1人部の面積は何m $^2$ か、求めなさい。

図1

図2 テント底面のシート

(3) ゆうとさんは、夕食の準備のときに計量カップの代わりに、図3のような自分の持っているコップを使うことにした。このコップは、図4のようなAD $=$ 4cm、BC $=$ 3cm、CD $=$ 9cmである台形ABCDを、辺CDを回転の軸として1回転させてできる立体であると考えると体積は何cm $^3$ か、求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とし、コップの厚さは考えないものとする。

図3

図4

答え

(1)
$(2000a+1200b+500\times40)\div40=50a+30b+500$ (円)
(2)
求める面積は以下の三角形で、中心は8等分されているので、 $\angle{\text{QRP}}=45^{\circ}$ となり、点Qから線分PRに垂線QHをひくと、△QHRができる。この△QHRは45°、45°、90°(1 : 1 : $\sqrt{2}$ )の直角二等辺三角形で、RQ $=\dfrac{5}{2}$ より、QH $=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$ 。よって求める面積は
$\dfrac{5}{2}\times\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{25\sqrt{2}}{16}$

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(3)　コップを延長して円錐をつくって考える。

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MN : KL $=$ 3 : 4より、ON : OL $=$ 3 : 4。ON $=x$ とおくと、
$x$ : $(x+9)=$ 3 : 4
$3x+27=4x$
$x=27=$ ON
よって、求める体積は
$\dfrac{1}{3}\times16\pi\times(27+9)-\dfrac{1}{3}\times9\pi\times27=192\pi-81\pi=111\pi$
$111\pi$ cm $^3$

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