TikZ：2020年度・群馬県前期の問題：平行四辺形と面積

こんにちは。相城です。2020年群馬県の前期問題から平行四辺形と面積に関する問題です。それではどうぞ。

下の図の平行四辺形ABCDにおいて、点E、Fはそれぞれ辺AD、CD上の点であり、AC//EFである。次の(1)～(3)の問いに答えなさい。

(1) 三角形ABCと三角形EBCの面積が等しいことを次のように証明した。
【ア】、【イ】に適する記号をそれぞれ入れなさい。
『証明』
△ABCと△EBCについて、ともに底辺をBCとして考えると、【ア】//【イ】より、高さが等しいといえる。したがって、底辺と高さがそれぞれ等しいので、△ABCと△EBCの面積は等しい。
(2) 三角形ADFと三角形CDEの面積が等しいことを証明しなさい。
(3) 平行四辺形ABCDの面積を96cm $^2$ 、AE : ED $=$ 3 : 1とする。四角形EBFDの面積を求めなさい。

答え

(1) 【ア】、【イ】AD、BC　順番はどちらでもよい(順不同) ADはAEでも大丈夫。
(2)
△ADFと△CDEで
△ADF＝△AEF＋△DEF・・・①
△CDE＝△EFC＋△DEF・・・②
△AEFと△EFCでEFを共通な底辺とすると
EF//ACであるから、高さも等しい。このことから、
底辺と高さがそれぞれ等しいので
△AEF＝△EFC
よって①、②より
△ADFと△CDEの面積は等しい(△ADF＝△CDE)
(3)
対角線BDを引いて, △BDFと△BDEの和として考える。
ここで, △BDF＝△ADF＝ $96\times\dfrac12\times\dfrac14=12$
△BDE＝△CDE＝ $96\times\dfrac12\times\dfrac14=12$
よって四角形EBFDの面積は $12+12=24$ (cm $^2$ )
別解
平行四辺形ABCDから△ABEと△BCFを取り除いた割合を
96cm $^2$ にかけて求める。
平行四辺形ABCDの面積を96とすると、
△ABE＝ $96\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=36$
△BCF＝ $96\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=36$
よって
四角形EBFD＝平行四辺形ABCD－△ABE－△BCFであるから
四角形EBFD＝96－36－36＝24
24cm $^2$
別解　平行四辺形の面積の割合を1とする。
△ABEの割合が全体の $1\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{8}$
△BCFの割合が全体のの $1\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{8}$ であるから、四角形EBFDの割合は
$1-\dfrac{3}{8}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}$
よって四角形EBFDの面積は $96\times\dfrac{1}{4}=24$ cm $^2$
＊)平行四辺形の面積の割合を1とせず面積をSとしてもよい。

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