TikZ:2019年度・埼玉県:空間図形

こんにちは。相城です。TikZの挙動がおかしく、右往左往しながら勉強しております。慣れるまではしばらくTikZで更新してまいります。いまのところemathってやはりすごいなぁって改めて驚いております。emathとTikZが融合して世界標準になればいいのになと思っています。正直今のところ私が使う分にはemathで十分間に合います。それでは2019年度埼玉県の空間図形の問題をどうぞ。

下の図1のような、正方形ABCDを底面とし、OA=OB=OC=ODの正四角錐OABCDがあります。頂点Oから底面の正方形ABCDに垂線をひき、底面の正方形ABCDとの交点をHとします。
このとき、次の各問いに答えなさい。
(1) △OHAと△OHBが合同であることを証明しなさい。
(2) 底面の正方形ABCDの1辺の長さが6cm、OA=OB=OC=OD=6cmのとき、次の①、②に答えなさい。
① 線分OHの長さを求めなさい。
② 下の図2のように、正四角錐OABCDを3点O、B、Dを通る平面で切って、三角錐OBCDの辺OB上にOP=2cmとなる点P、辺OD上にOQ=4cmとなる点Qをとります。辺OC上に点Rをとり、PR+RQの長さが最も短くなるとき、三角錐OPRQの体積を途中の説明も書いて求めなさい。

図1

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図2

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答え
(1) △OHAと△OHBで
仮定より、OA=OB・・・①
共通な辺より
OH=OH・・・②
正方形の対角線の長さは等しく、対角線はそれぞれの中点で交わるので
AH=BH・・・③
①、②、③より3組の辺がそれぞれ等しいので
△OHA≡△OHB
*または∠OHA=∠OHB=90^{\circ}
から直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいでも可
(2)
① △OHAで三平方の定理でOHを求める。
OA=6cm、AH=6\sqrt{2}\div2=3\sqrt{2}
よってOH=\sqrt{6^2-3\sqrt{2}^2}=3\sqrt{2}
3\sqrt{2}cm・・・答え

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上図のように、線分PQが最短になるとき。
CDとPQを延長して交点をSとすると
△POQ∽△SDQで相似比が2 : 1(OQ : DQ)であるから
SD=1となるのでCS=7となる。
このとき△POR∽SCRとなり、相似比はPO:SC=2 : 7なので
OR : CR=2 : 7となる。
よって三角錐OPRQは三角錐OBCDの
\dfrac{1\times2\times2}{3\times9\times3}=\dfrac{4}{81}
三角錐OBCDの体積は正四角錐OABCDの\dfrac{1}{2}なので
三角錐OBCDの体積=6^2\times3\sqrt{2}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=18\sqrt{2}
求める体積はこれの\dfrac{4}{81}倍。よって
よって三角錐OPRQ=18\sqrt{2}\times\dfrac{4}{81}=\dfrac{8\sqrt{2}}{9}
\dfrac{8\sqrt{2}}{9}cm^3・・・答え

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