TikZ:2019年度・愛知県A:回転体

こんにちは。相城です。さて、今回は2019年度愛知県Aグループから回転体の問題です。ただ、レベル的には中3になりますので、三平方の定理が終わった段階で解いてみてください。それではどうぞ。

図で、円Oは中心が△ABCの辺BC上にあり、直線AB、ACとそれぞれ点B、Dで接している。
AB=2cm、AC=3cmのとき、次の①、②の問いに答えなさい。
① 円Oの面積は何cm^2か、求めなさい。
② △DBCを辺BCを回転の軸として1回転させてできる立体の体積は、円Oを辺BCを回転の軸として1回転させてできる立体の何倍か、求めなさい。

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答え

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まず三平方の定理よりBC=\sqrt{5}
上図のようにOとDを結ぶ。BO(半径)をxとおくと、
DO=x、CO=\sqrt{5}-xまた、AB=AD=2、AC=3より、
DC=1。△OCDで、三平方の定理より、
CO^2=DO^2+DC^2すなわち
(\sqrt{5}-x)^2=x^2+1これより、
x=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
よって円の面積は
\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 \pi=\dfrac{4}{5}\picm^2

DからBCに下ろした垂線の足をHとすると、
△CDH∽△CABで相似比は1 : 3であるから、
DH: 2=1 : 3
DH=\dfrac{2}{3}
このとき、△DBCをBCを軸として回転させた立体の体積は
BC=\sqrt{5}なので
\dfrac{4}{9}\pi\times\sqrt{5}\times\dfrac{1}{3}= \dfrac{4\sqrt{5}}{27}\pi
円OをBCを軸として1回転させると球ができるので
その球の半径は\dfrac{2\sqrt{5}}{5}であるから、
体積は\dfrac{4}{3}\pi\times\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^3=\dfrac{32\sqrt{5}}{75}\pi
よって、
\dfrac{4\sqrt{5}}{27}\pi\div\dfrac{32\sqrt{5}}{75}\pi=\dfrac{25}{72}
\dfrac{25}{72}倍・・・答え

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