令和元年度　徳島県第3回基礎学力テスト：立体

こんにちは。相城です。

さて今回は立体の問題を取り上げてみたいと思います。問題は次のようです。

問い：下の図は、底面ABCが1辺12cmの正三角形、PA $=$ PB $=$ PC $=$ 24cmの正三角錐である。辺PA、PB上にそれぞれ点D、EをPD $=$ PE $=$ 18cmとなるようにとり、CとD、DとE、CとEを結ぶ。このとき次の(1)～(3)に答えなさい。
(1)　△PABと△PDEが相似であることを証明しなさい。
(2)　この三角錐を3点C、D、Eを通る平面で分け、点Pを含む立体をV $_1$ 、もう一方の立体をV $_2$ とする。このV $_1$ とV $_2$ の体積比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。
(3)　CDの長さを求めなさい。

以下に解説を載せておきます。

(1)　例１
△PABと△PDEで
PA : PD $=$ 24 : 18 $=$ 4 : 3 $\cdots$ ①
PB : PE $=$ 24 : 18 $=$ 4 : 3 $\cdots$ ②
$\angle{\text{P}}$ は共通 $\cdots$ ③
①、②、③より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、
△PAB∽△PDE
例２
△PABと△PDEで
PD : DA $=$ PE : EB $=$ 3 : 1なので
DE//ABであるから同位角は等しいので
$\angle{\text{PAB}}=\angle{\text{PDE}}$ $\cdots$ ①
$\angle{\text{P}}$ は共通 $\cdots$ ②
①、②より2組の角がそれぞれ等しいので
△PAB∽△PDE

※同位角2つでも可、DE//ABの理由が書けていないものは減点か×と思います。