令和元年度 徳島県第3回基礎学力テスト:立体

こんにちは。相城です。

さて今回は立体の問題を取り上げてみたいと思います。問題は次のようです。

問い:下の図は、底面ABCが1辺12cmの正三角形、PA=PB=PC=24cmの正三角錐である。辺PA、PB上にそれぞれ点D、EをPD=PE=18cmとなるようにとり、CとD、DとE、CとEを結ぶ。このとき次の(1)~(3)に答えなさい。
(1) △PABと△PDEが相似であることを証明しなさい。
(2) この三角錐を3点C、D、Eを通る平面で分け、点Pを含む立体をV_1、もう一方の立体をV_2とする。このV_1とV_2の体積比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。
(3) CDの長さを求めなさい。

以下に解説を載せておきます。

(1) 例1
△PABと△PDEで
PA : PD=24 : 18=4 : 3\cdots
PB : PE=24 : 18=4 : 3\cdots
\angle{\text{P}}は共通\cdots
①、②、③より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、
△PAB∽△PDE
例2
△PABと△PDEで
PD : DA=PE : EB=3 : 1なので
DE//ABであるから同位角は等しいので
\angle{\text{PAB}}=\angle{\text{PDE}}\cdots
\angle{\text{P}}は共通\cdots
①、②より2組の角がそれぞれ等しいので
△PAB∽△PDE

※同位角2つでも可、DE//ABの理由が書けていないものは減点か×と思います。

(2)

立体V_1と立体V_2は下図に示すように、高さが等しい三角錐と四角錐になるので、体積比は底面の面積S_1(△PDE)とS_2(四角形DABE)の面積比と同じになります。

そこで、△PDE(S_1)と四角形DABE(S_2)の面積比を求めるのですが、(1)で△PABと△PDEの相似比が4 : 3とわかっているので、この2つの三角形の面積比は16 : 9となり、四角形DABEの面積の割合は△PABから△PDEを引いたものなので、16-9=7となります。

したがって、求める体積比は、9 : 7\cdots(答え)

(3)は相似です。下図をご参照ください。

△PCA∽△CDA(2組の辺の比とその間の角)
PA : CA = CD : DAより、CD=x cmとおくと
24 : 12 = x : 6
2 : 1 = x : 6
x = 12
よって、12cm\cdots(答え)

それではまた。

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