:: 中学生のための中学数学の質問掲示板 ::

~問題文~
ある正三角形abcがある。辺acの中点eと辺bc上に任意の点dをとり、角edbの角の二等分線と辺edとの交点を点fとする。このとき、eb:bdがef:fdと等しくなることを示せ。ただし、正三角形のそれぞれの辺よりも外側に点や線を補ってはいけないこととする。

初手から全く見当が付かず、苦戦しております。
どなたか教えてください。

mk 2020/11/28(Sat) 23:04 No.293 [返信]

Re: ご教授ください

ＣＯＲＮＯです．

>角edbの角の二等分線と辺edとの交点を点fとする。
ここがおかしいようです．

ＣＯＲＮＯ 2020/11/28(Sat) 23:46 No.295

Re: ご教授ください

ＣＯＲＮＯですが…

まず最初に，
返信は，別のスレッドを立てないようにしてください．
このスレッドの最初の（mkさんの）書き込みにある
「返信」とあるところ（No.293の隣り）をクリックしてください．

次に，
この問題の出典は何ですか？
問題集ならどんな問題集なのか（例えば自分で買った受験問題集），
それとも学校で配付されたプリント，あるいは塾で……
これを聞く理由は，問題の文章が普通の感じがしないので，まともな問題なのかどうかが疑問だからです．

で，回答の前に，
「三角形ＡＢＣの∠Ａの二等分線と辺ＢＣの交点をＤとするとき，ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤ　が成り立つ」
という定理は中学でも習うはずです．（mkさんの学年はわからないわけですが）
これを知っていれば明らかなわけですが，これを使わずにということなのでしょうか？

ＣＯＲＮＯ 2020/11/29(Sun) 15:47 No.297

Re: ご教授ください

使わずにです。
出典というか塾の先生の自作です。

mk 2020/11/29(Sun) 17:29 No.298

Re: ご教授ください

なるほど，わかりました．
では，

点Ｆから線分ＥＢ，ＢＤに垂線を引き，
交点をそれぞれＧ，Ｈとします．
　　△ＦＧＢ≡△ＦＨＢ
ですから，
　　ＦＧ＝ＦＨ
です．すると，
　　ＥＢ：ＢＤ＝(１/２)ＦＧ・ＥＢ：(１/２)ＦＨ・ＢＤ
　　　　　　　＝△ＦＥＢ：△ＦＤＢ
となります．

次に，△ＦＥＢと△ＦＤＢで，底辺を直線ＤＥ上で考えると，
高さは等しいので，
　　△ＦＥＢ：△ＦＤＢ＝ＥＦ：ＦＤ
です．
したがって，
　　ＥＢ：ＢＤ＝ＥＦ：ＦＤ

ＣＯＲＮＯ 2020/11/29(Sun) 18:10 No.299

Re: ご教授ください

ほー
なるほど。
目から鱗です!

mk 2020/11/29(Sun) 19:50 No.300

Re: ご教授ください

CORNOさん
いつもありがとうございます。

さて私は
E,Dから直線BFに垂線EH、DIを下ろし
このとき
△BEH∽△BDI
であるから、
EB:DB＝EH:DI・・・�@
また
△EHF∽△DIFだから
EH:DI＝EF:DF・・・�A
�@、�Aより
EB：DB＝EF：DF
すなわち
EB：BD＝EF：FD
としました。

管理人 2020/12/01(Tue) 01:12 No.302

あ、
すいません。。。
角ebcです

mk 2020/11/29(Sun) 01:51 No.296 [返信]

角edc>90度とする。という条件書くの忘れてました。すみません。

mk 2020/11/28(Sat) 23:13 No.294 [返信]

解き方の手順を教えてください。

ｋ 2018/09/11(Tue) 16:03 No.82 [返信]

Re: 解き方の手順

これは解き方が正しいかどうかは不明。

管理人 2018/09/16(Sun) 02:43 No.87

Re: 解き方の手順

念のため8，9が問題に合わないことは確かめてくださいね。

管理人 2018/09/18(Tue) 00:27 No.89

友達の自作問題らしいのですが…
誰か解ける人います？
ちなみに僕はさっぱりです。

タコ 2020/11/02(Mon) 23:29 No.266 [返信]

Re: 挑戦状？

おはようございます，ＣＯＲＮＯです．

確認したいので，次のことに答えてください．
　１．直線ａの方程式はどうなりますか．
　２．ｎ秒後の点Ｄの座標はどうなりますか．
　３．ｎ秒後の点Ｅの座標はどうなりますか．
答えられるところまででかまいません．

さらに確認したいことがあります．
タコさんの学年（あるいは数学の学習進度状況）は何ですか．
世の中には，中学生でも高校の数学を学習している人がいます．
高校数学の知識があれば，この問題は比較的容易に解けると思いますが，
中学数学の範囲であれば，確かにけっこう大変な問題だと思います．
私は高校の教師だったので，中学数学の内容を深くは知りません．
場合によっては，他の人に回答を替わってもらうことになるかもしれません．

ＣＯＲＮＯ 2020/11/03(Tue) 07:31 No.267

挑戦状？ のご質問について

aの方程式は点B、点Cを通って不変やからそこから求めろ
n秒後の点Dは点Bからスタートしてaの線上を通って一秒間にＸ座標の値が1ずつ増える速さで無限に進み続ける
n秒後の点Eは変動する点で点Dと連動するんじゃいとのことです
ちなみにその友達は僕と同じく中三でめちゃくちゃ数学ができるやつですが確認したところ中学で習った内容で解けるとのことです
真剣に取り組んでいただいてありがとうございます

タコ 2020/11/03(Tue) 14:02 No.268

続き

これでいけるらしいです

タコ 2020/11/03(Tue) 14:07 No.269

続き

これでいけるらしいです

タコ 2020/11/03(Tue) 14:17 No.270

Re: 挑戦状？

ＣＯＲＮＯです．
私の質問の１〜３がわからなかったものと思って続けます．

１．直線ａの方程式
求め方はいくつかあると思いますが，たとえば，ａの方程式を
　　ｙ＝ｐｘ＋ｑ
とおいて，２点Ｂ，Ｃの座標を代入して解く，という方法が考えられます．
計算して求めた結果(だけでいいので)を書き込んでください．

２．ｎ秒後の点Ｄの座標
もし，これができなかったら，「１秒後の点Ｄの座標」を求めてここに書き込んでください．

３．ｎ秒後の点Ｅの座標
これができなかったときは，「１秒後の点Ｄの座標」を使って「１秒後の点Ｅの座標」を求めてここに書き込んでください．


なお．本当に答だけ知りたいのであれば，直線ＢＥは，
　　ｙ＝(−ｘ＋１)/３
です．
「(２)ｎ秒後のＢＥの長さ」は，ｎ秒後の点Ｄの座標を求められない限り，常識的には無理な気がします．(なんとなく求めるのは可能でしょうが)

ＣＯＲＮＯ 2020/11/03(Tue) 15:29 No.271

続き

1a:y＝-1/3x-4/3
2D(-1+n，-3-n/3)
3E(-1+n/2,3-n/6)
であってますでしょうか

タコ 2020/11/03(Tue) 17:24 No.272

Re: 挑戦状？

はい，３つとも正しいようです．
ただ，細かい話ですが，たとえば，
　　−３−ｎ/３
という式は，
　　(−３)−(ｎ/３)　なのか　(−３−ｎ)/３
のどちらかわかりません．
面倒でも，かっこを多用して，他人が見てもわかるよう心がけてください．

では，続けます．
直線ＢＥの方程式は，真面目にやると，２点
　　Ｂ(−１，−１)，Ｅ((−１＋ｎ)/２，(３−ｎ)/６)
を通る直線と考えて求めます．直線ａの方程式を求めたときと同様にすればよいと思います．
ただ，ｎが入っていて，計算は面倒です．
もしこの方法がつらければ，(１)の答は直線になるという前提のもとで，
ｎ秒後の点Ｅではなく，１秒後の点Ｅの座標(０，−４/３)を使って求めてください．

ＣＯＲＮＯ 2020/11/03(Tue) 17:38 No.273

続き

(1)y＝−1/3x−1/3であってますでしょうか

タコ 2020/11/03(Tue) 18:14 No.274

Re: 挑戦状？

ちょっと違いますね．
　　ｙ＝(−ｘ＋１)/３
です．
ところで，点Ｅの座標はどちらを使いましたか？

ＣＯＲＮＯ 2020/11/03(Tue) 18:52 No.275

Re: 挑戦状？

すみません．
１秒後の点Ｅの座標は(０，１/３)ですね．
失礼しました．

ＣＯＲＮＯ 2020/11/03(Tue) 18:56 No.276

続き

(2)の解き方はわかりますか？

タコ 2020/11/03(Tue) 19:41 No.277

Re: 挑戦状？

>(2)の解き方はわかりますか？

(１)は正しく求められましたか？
それと，
>ところで，点Ｅの座標はどちらを使いましたか？

ＣＯＲＮＯ 2020/11/03(Tue) 19:50 No.278

続き

(1)は多分解けました。
ちな0秒後の(ー1/2、1/2)と1秒後の(0、1/3)です

タコ 2020/11/03(Tue) 20:48 No.279

続き

ヒント？っていうかほぼ答えが送られてきました
それでもわたしは理解できませぬ。
(´∀｀=)

タコ 2020/11/03(Tue) 20:53 No.281

ヒント(答え)

解説をお願いしたいです。

タコ 2020/11/03(Tue) 20:55 No.282

単純な質問

これって難易度どれくらいなんでしょうか…

タコ 2020/11/03(Tue) 21:00 No.283

Re: 挑戦状？

たびたびすいません．
直線ＢＥの方程式ではありませんでしたね．
本当に失礼しました．

さて，(２)ですが，友達の解説を見ると，
「傾きの積が−１」などは高校の知識を使っている気がしますが，
中学でも習っているのでしょうか？

また，書き方が独特なので，解読に苦労しますが……
まあ，いってみましょう．
ただ，もしかすると高校数学の知識を使っているかもしれません．

１秒後の点Ｄが点Ｃに一致することから，このときの辺ＢＤの長さが√１０/３．
１秒ごとに線分ＢＤの長さがこの分だけ伸びていくので，ｎ秒後にはＢＤ＝(√１０)ｎ/３．
ＡＢ＝√１０なので，ＡＤ＝｛√(１０ｎ^2＋９０)｝/３．
ここで，三角形ＡＢＤは∠ＡＢＤ＝９０°の直角三角形であることから，
三角形ＡＢＤの外接円(３点Ａ，Ｂ，Ｄを通る円)の中心は，辺ＡＤの中点Ｅ．
すると，ＡＥ＝ＢＥ＝ＤＥ(＝半径)から，
　　ＢＥ＝ＡＤ/２
　　　　＝｛√(１０ｎ^2＋９０)｝/６

難易度は，私にはわかりません．
おそらく中学生にとっては難しいとは思いますが…
これについては管理人さんの方が中学生の状況に詳しいと思います．

ＣＯＲＮＯ 2020/11/03(Tue) 21:35 No.284

続き

質問した身で指摘するのはどうかと自分でも思いますがADの長さ間違ってませんか？
√10/9n^2+10ではありやせんか

タコ 2020/11/03(Tue) 21:51 No.285

感謝

解き方は完璧に理解いたしました。長いこと付き合っていただいて申し訳ないです。
…というかこの問題を作ったのはぼくです。普段から数学の問題を作るのが趣味で誰かに真剣にといて欲しかったのですが誰も数学の問題を進んで解きたいなんて人がいなくて…騙して申し訳ございませんでした。そしてありがとうございました。やりとり楽しかったです。

タコ 2020/11/03(Tue) 21:58 No.286

Re: 挑戦状？

>√10/9n^2+10ではありやせんか
前にも書きましたが，この式は私には読めません．

私が意図しているのは，まず，
　　ＡＤ＝√｛(１０ｎ^2＋９０)/９｝
です．数式は根号の中にすべて入っています．
これが，
　　ＡＤ＝｛√(１０ｎ^2＋９０)｝/３
となります．分母の９が根号の外に出て３となります．
９０は根号の外には出ません．

ＣＯＲＮＯ 2020/11/03(Tue) 22:07 No.288

Re: 挑戦状？

私は
地道にn秒後のDの座標を
(-1+n, (1-n)/3-4/3)として
A(0, 2)の中点Eを
E((-1+n)/2, (1-n)/6+1/3)
として直接BEを求める方法でやりました。

媒介変数の問題は
中学生ではほとんど扱わないですね。
難易度は人によって異なりますが
今回のは一般の方には難しいと思いますよ。
では。

管理人 2020/11/05(Thu) 12:45 No.289