emath：高校数学：複素数の問題における式変形の例①α/βを求める

こんにちは。今回は複素数の問題で式変形の例を見ていきます。例題を解きながら見ていきます。

複素数の問題の式変形の例①

【例】 $\alpha$ , $\beta$ は, 等式 $3\alpha^2-6\alpha\beta+4\beta^2=0$ を満たす0でない複素数とする。以下の問いに答よ。
(1) 複素数 $\dfrac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表せ。
(2) 複素数平面上で複素数0, $\alpha$ , $\beta$ を表す点をそれぞれO, A, Bとするとき, $\kaku{AOB}$ および $\kaku{OAB}$ を求めよ。
【解法】次の式変形は有名なので覚えておいてほしい。
両辺を $\beta^2$ で割ると,
$3\dfrac{\alpha^2}{\beta^2}-6\dfrac{\alpha}{\beta}+4=0$
$3\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^2 -6\dfrac{\alpha}{\beta}+4=0$
$\dfrac{\alpha}{\beta}$ の二次方程式として, 解を求めると,
$\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{3\pm\sqrt{3}i}{3}=\dfrac{1}{3}(3\pm\sqrt3 i)$
これを変形すると
$\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=2\sqrt3$ なので,
$\begin{array}{lll}\dfrac13\cdot2\sqrt{3}\left(\dfrac{3}{2\sqrt3}\pm\dfrac{\sqrt3}{2\sqrt3}i\right)&=&\dfrac{2\sqrt3}{3}\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\pm\dfrac12 i\right)\\&=& \dfrac{2}{\sqrt3}\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\pm\dfrac12 i\right)\cdots\maru1 \end{array}$
よって, $\cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\sin\theta=\pm\dfrac12$ となる $\theta$ は $\theta=\pm\dfrac{\pi}{6}$ なので,
$\maru{1}$ は
$\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{2}{\sqrt3}\left\{\cos\left(\pm\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\pm\dfrac{\pi}{6}\right)\right\}\cdots$ (答)
(2) (1)より
$\alpha=\dfrac{2}{\sqrt3}\left\{\cos\left(\pm\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\pm\dfrac{\pi}{6}\right)\right\}\beta$
と変形できるので, OAはOBを $\dfrac{2}{\sqrt3}$ 倍に拡大し, $\dfrac{\pi}{6}$ または, $-\dfrac{\pi}{6}$ 回転させたものである。このとき, △OABは $1 : 2 : \sqrt3$ の直角三角形になる。(下図参照)
よって,
$\kaku{AOB}=\dfrac{\pi}{6}$ , $\kaku{OAB}=\dfrac{\pi}{3}$
となる。

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