高校数学：曲線上にない点からの接線の解法(2次関数)

こんにちは。今回は2次関数の接線の問題で, 曲線上にない点からの接線の問題を扱っていきます。解法は数3でも利用できますので, しっかり学んでください。それでは例題を解きながら見ていきましょう。

解法の流れを掴もう

【例】2次関数 $f(x)=x^2+3$ に点(1, 0)から引ける接線の方程式をすべて求めよ。
【解法】まず(1, 0)が2次関数のグラフ上にないので, 接点を $(t, t^2+3)$ とおく。
次に $f(x)$ を $x$ で微分して, $f'(x)=2x$ となるので, 求める接線の方程式は,
$y=2t(x-t)+t^2+3$
となります。
これが, ( 1, 0 )を通るので, 代入すると
$0=2t(1-t)+t^2+3$
$0=-t^2+2t+3$
$t^2-2t-3=0$
$(t-3)(t+1)=0$
$t=3, -1$
$t=3$ のとき,
$y=6(x-3)+12$ より,
$y=6x-6$
$t=-1$ のとき,
$y=-2(x+1)+4$ より,
$y=-2x+2$
以上より,
求める接線の式は, $y=6x-6,\ y=-2x+2\cdots$ (答)

3次関数の場合も流れは同じ

【例】3次関数 $f(x)=x^3+3x$ の接線で点 $\left(\dfrac13, 0\right)$ を通るものを求めよ。
【解法】解法の流れは先と同じです。
まず与えられた座標は3次関数のグラフ上の点ではありません。そこで接点を $(t, t^3+3t)$ とおく。
$f(x)$ を $x$ で微分して, $f'(x)=3x^2+3$ となるので, 求める接線の方程式は,
$\begin{array}{lll}y&=&(3t^2+3)(x-t)+t^3+3t\\&=&(3t^2+3)x-2t^3\cdots\maru{1}\end{array}$
$\maru{1}$ が $\left(\dfrac13, 0\right)$ を通るので, 代入すると
$0=(3t^2+3)\times\dfrac13-2t^3$
$0=t^2+1-2t^3$
$2t^3-t^2-1=0\cdots\maru2$
この3次方程式は, 因数定理より $t=1$ のとき, $\maru{2}$ の左辺は0になるので, 左辺は $(t-1)$ を因数に持つ。
よって,
$(t-1)(2t^2+t+1)=0$ と因数分解できるが, $2t^2+t+1=0$ は実数解を持たない。
よって, 求める接線は $t=1$ のときだけとなる。したがって, $t=1$ を $\maru{1}$ に代入して,
$y=6x-2\cdots$ (答)
今回は $\maru{2}$ の3次方程式の実数解が1つしかなかったが, 異なる実数解が3つある場合は接線は3本あることが知れると思う。