高校数学：データxをax+bにするとどうなるか

こんにちは。今回は変量 $x, y$ のデータが $ax+b$ , $cy+d$ に変換された場合どう変化するか見ていきましょう。

平均

データ $x_1, x_2, x_3, \cdots,x_n$ の平均を $\overline{x}$ とすると,
$\overline{x}=\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+x_3\cdots+x_n\right)$
ここで, データをそれぞれ $a$ 倍して $b$ 加えた平均 $\overline{x'}$ をとると,
$\begin{array}{lll}\overline{x'}&=&\dfrac{1}{n}\{(ax_1+b)+(ax_2+b)+\cdots+(ax_n+b)\}\\&=&a\cdot \underbrace{ \dfrac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n) }_{\LARGE{\overline{x}}} +\dfrac{1}{n}\cdot nb\\&=&a\overline{x}+b\end{array}$
同様に, データ $y_1, y_2, y_3, \cdots,y_n$ の平均を $\overline{y}$ とすると,
このデータをそれぞれ $c$ 倍して $d$ 加えた平均 $\overline{y'}$ は,
$\overline{y'}=c\overline{y}+d$
となる。
このようにデータ $x$ の平均は $a$ 倍され $b$ 増え, データ $y$ の平均は $c$ 倍され $d$ 増えます。

偏差

偏差はそれぞれのデータから平均を引いたものなので,
データ $x$ の偏差は,
$\begin{array}{rcl}(ax_1+b)-(a\overline{x}+b)&=&a(x_1-\overline{x})\\(ax_2+b)-(a\overline{x}+b)&=&a(x_2-\overline{x})\\&\vdots&\\(ax_n+b)-(a\overline{x}+b)&=&a(x_n-\overline{x})\end{array}$

データ $y$ の偏差も同様に,
$\begin{array}{rcl}(cy_1+d)-(c\overline{y}+d)&=&c(y_1-\overline{y})\\(cy_2+d)-(c\overline{y}+d)&=&c(y_2-\overline{y})\\&\vdots&\\(cy_n+d)-(c\overline{y}+d)&=&c(y_n-\overline{y})\end{array}$
このように偏差は $a$ 倍, $c$ 倍されます。

分散

分散は偏差の2乗の平均ですから, データ $x$ の元の分散を $s_x^2$ とすると,
$s_x^2=\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2+\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\}$
$a$ 倍して $b$ 加えたデータでは, 偏差が $a$ 倍されるので, その分散 $s'_x^2$ は,
$\begin{array}{rcl}s'_x^2&=&\dfrac{1}{n}\left[\left\{a\left(x_1-\overline{x}\right)\right\}^2+\left\{a\left(x_2-\overline{x}\right)\right\}^2+\left\{a\left(x_3-\overline{x}\right)\right\}^2+\cdots+\left\{a\left(x_n-\overline{x}\right)\right\}^2\right]\\&=&a^2\cdot \underbrace{ \dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2+\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\} }_{\LARGE{s_x^2}} \\&=&a^2\cdot s_x^2\end{array}$
同様に, $c$ 倍して $d$ 加えたデータでは, 偏差が $c$ 倍されるので, その分散 $s'_y^2$ は,
$s'_y^2=c^2\cdot s_y^2$
したがって, 分散は元の分散の $a^2$ 倍, $c^2$ 倍になる。

標準偏差

標準偏差は分散の正の平方根なので,
分散が $a^2$ 倍, $c^2$ 倍されるなら標準偏差は $|a|$ 倍, $|c|$ 倍されます。絶対値が付いてるのは $a<0$ , $c<0$ の場合を考慮してのことです。
つまり, $s'_x=|a|s_x$ , $s'_y=|c|s_y$ になります。

相関係数

2つのデータ $x_1, x_2, x_3,\cdots, x_n$ ,　 $y_1, y_2, y_3, \cdots, y_n$ があるとき, 共分散 $s_{xy}$ は次式で与えられます。
$s_{xy}=\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)\left(y_1-\overline{y}\right)+\left(x_2-\overline{x}\right)\left(y_2-\overline{y}\right)+\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)\left(y_n-\overline{y}\right)\right\}$
また, それぞれのデータの標準偏差を $s_x$ , $s_y$ とすると,
相関係数 $r$ は
$r=\dfrac{s_{xy}}{s_x\cdot s_y}$
で与えられます。
データ $x, y$ の偏差はそれぞれ $a$ 倍, $c$ 倍されているので, 共分散 $s'_{xy}$ は,
$\begin{array}{rcl}s'_{xy}&=&\dfrac{1}{n}\left\{ac\left(x_1-\overline{x}\right)\left(y_1-\overline{y}\right)+ac\left(x_2-\overline{x}\right)\left(y_2-\overline{y}\right)+\cdots+ac\left(x_n-\overline{x}\right)\left(y_n-\overline{y}\right)\right\}\\&=&ac\cdot \underbrace{ \dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)\left(y_1-\overline{y}\right)+\left(x_2-\overline{x}\right)\left(y_2-\overline{y}\right)+\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)\left(y_n-\overline{y}\right)\right\} }_{\LARGE{s_{xy}}} \\&=&ac\cdot s_{xy}\end{array}$
このように, 共分散は $ac$ 倍されます。
また, 標準偏差 $s'_x, s'_y$ はそれぞれ, $s'_x=|a|s_x, s'_y=|c|s_y$ であるから, このときの相関係数 $r'$ は,
$\begin{array}{rcl}r'&=&\dfrac{s'_{xy}}{s'_x\cdot s'_y}\\&=&\dfrac{ac\cdot s_{xy}}{|a|s_x\cdot |c|s_y}\\&=&\dfrac{ac\cdot s_{xy}}{|ac|\cdot s_x\cdot s_y}\\&=&\dfrac{ac}{|ac|}r\end{array}$
となり, $ac>0$ なら, 元の相関係数と変化がなく, $ac<0$ なら相関係数の符号が反対になる (例：強い正の相関が強い負の相関になる) ことがわかる。
ちなみに, $x$ のデータだけ $ax+b$ に変換した場合の相関係数 $r''$ は,
$r''=\dfrac{a}{|a|}r$
となり, $a>0$ なら元の相関係数と変わらず, $a<0$ なら相関係数の符号が反対になる。

データがa倍されb加えると

①平均は $a$ 倍され $b$ 増える。
②偏差は $a$ 倍される。
③分散は $a^2$ 倍になる。
④標準偏差は $|a|$ 倍になる。
⑤相関係数は片方のデータをすべて $a$ 倍して $b$ 加えたときは $\dfrac{a}{|a|}$ 倍される。
$a>0$ なら相関係数に変化なし, $a<0$ なら相関係数の符号が反対になる。
もう一方のデータをすべて $c$ 倍して $d$ 加えたなら, $\dfrac{ac}{|ac|}$ 倍される。
$ac>0$ なら相関係数に変化なし, $ac<0$ なら相関係数の符号が反対になる。

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