高校数学：数学的帰納法と倍数の証明の解法

こんにちは。今回は帰納法と倍数の証明について書いておきます。

倍数であると仮定して変形していく

【例】 $n$ 自然数のとき,
$4^{2n+1} + 3^{n+2}$
が13の倍数であることを証明せよ。
【解法】 $n=1$ のとき,
$4^3+3^3=64+27=91=13\cdot7$
で成り立つ。
$n=k$ のとき, 与式が13の倍数であると仮定すると,
$4^{2k+1}+3^{k+2}=13m\,$ ( $m$ は自然数) $\cdots\maru1$
$n=k+1$ のとき,
$\begin{array}{lll}&&4^{2(k+1)+1}+3^{(k+1)+2}\\&=&4^{2k+3}+3^{k+3}\\&=&16\cdot\underline{4^{2k+1}}+3\cdot3^{k+2}\cdots\maru2\\\end{array}$
$\maru2$ の下線部は $\maru1$ より, $4^{2k+1}=13m-3^{k+2}$ で置き換えることができるので,
これを $\maru2$ に代入すると,
$\begin{array}{lll}&&16\cdot(13m-3^{k+2})+3\cdot3^{k+2}\\&=&16\cdot13m-16\cdot3^{k+2}+3\cdot3^{k+2}\\&=&13\cdot16m-13\cdot3^{k+2}\\&=&13(16m-3^{k+2})\end{array}$
よって, $n=k+1$ のときも13の倍数になる事が示せた。
したがって, すべての自然数において, $4^{2n+1} + 3^{n+2}$ は13の倍数である。

【ここがコツ】 $4^{2k+1}+3^{k+2}=13m$ とおいたのを, $4^{2k+1}=13m-3^{k+2}$ に変形して $n=k+1$ の式に代入していくところ。また, それが代入できるように, $4^{2k+3}$ は $16\cdot4^{2k+1}$ に変形, 代入した後, $3^{k+2}$ の項が計算できるように, $3^{k+3}$ を $3\cdot3^{k+2}$ に変形するところがコツになります。

帰納法と倍数の証明

与式が何かの倍数であると仮定して式をつくり, それを変形して代入して解く。
今回のは $4^{2k+1}+3^{k+2}=13m$ とおいたのを, $4^{2k+1}=13m-3^{k+2}$ に変形して $n=k+1$ の式に代入。また, この変形した式が代入できるよう, 事前に累乗の指数部分を計算したり, 分解しておくこと。

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倍数であると仮定して変形していく

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