高校数学：群数列の求め方(n群の最初の数)

こんにちは。今回は群数列についてです。例題を解きながら見ていきましょう。

n群の最初の数

【例題】次のように正の奇数の数列を, 順に2個, 4個, 6個, $\cdots$ の群に分ける。
1 , 3| 5, 7, 9, 11| 13, 15, 17, 19, 21, 23 | $\cdots$
(1) $n$ 群に入る最初の奇数を求めよ。
(2) 8群に入るすべての数の和を求めなさい。
【解法】
(1)　群がないときの一般項を考えると, $a_k=2k-1$
このとき群に入る個数は2個, 4個, 6個, $\cdots$ なので個数の数列は, $b_k=2k$ である。
$n\geqq2$ のとき, $n$ 群の最初の数は数列 $a_k$ の何番目かというと $b_k$ (個数)の $n-1$ 番目までの和に1( $n$ 群の1番目)をたしたものであることがわかる。
したがって, その何番目かというのを求めると, $m$ 番目として
$\begin{array}{rcl}m&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2n+1\\&=&2\cdot\dfrac12(n-1)n+1\\&=&n^2-n+1\end{array}$
これは $n=1$ のときも成り立つ。
これで何番目かわかったので,
求める数列は
$\begin{array}{rcl}a_m&=&2m-1\\&=&2(n^2-n+1)-1\\&=&2n^2-2n+1\end{array}$
よって, $2n^2-2n+1\cdots$ (答)
(2) 8群の最初の数は, (1)より113, 8群は項数が $2\cdot8=16$ なので, 8群の末項は $113+2\times(16-1)=143$
したがって, 8群に入るすべての数の総和は, 等差数列の和の公式から,
$\dfrac{(113+143)\times16}{2}=2048$
$2048\cdots$ (答)

群数列n群の最初の数

$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　群を無視して一般項 $a_k$ を求める。
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　個数の数列 $b_k$ を求める。
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $n-1$ 番目までの個数の数列の和を求めそれに1を加える。これを $m$ とする。
$\textcircled{\scriptsize 4}$ 　 $a_k$ の $k$ を $\textcircled{\scriptsize 3}$ で求めた $m$ で置き換える。

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