TikZ：高校数学：三角関数を含む不等式①

こんにちは。今回は三角関数を含む不等式について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

不等式の考え方

【例①】 $0\leqq \theta<2\pi$ のとき, 方程式 $\sin\theta\geqq\dfrac{\sqrt3}{2}$ を解け。
【解法】 $\sin\theta=\dfrac{y}{r}$ で求められる。不等式も方程式同様に円を描いて考えるのだが, 円なので動径 $r$ は常に一定で正の数なので, $\sin\theta$ の大きさは $y$ 座標で決まる。このことに着眼すれば意外と平易に解ける。
今回半径2の円を描いてみると, $y=\sqrt3$ となる点は下図の赤い点のところである。このとき, 半径が2であることを考慮すれば, $y$ 座標が $\sqrt3$ より大きくなるのは色を付けた範囲である。

したがって, 求める $\theta$ の範囲は, $\dfrac13\pi\leqq \theta\leqq\dfrac23\pi$

【例②】 $0\leqq \theta<2\pi$ のとき, 方程式 $\cos\theta>-\dfrac{\sqrt2}{2}$ を解け。
【解法】 $\cos\theta=\dfrac{x}{r}$ で求められる。この問題も円を描いて考えるのだが, 円なので動径 $r$ は常に一定で正の数なので, $\cos\theta$ の大きさは $x$ 座標で決まる。問題では, $-\dfrac{\sqrt2}{2}=-\dfrac{1}{\sqrt2}$ なので,半径 $\sqrt2$ の円を描いてみると, $x=-1$ となる点は下図の赤い点のところである。このとき, 半径が $\sqrt2$ で一定なので, $x$ 座標が $-1$ より大きくなる範囲を考えると, 色を付けた範囲になる。

したがって, 求める $\theta$ の範囲は, $0\leqq \theta<\dfrac34\pi, \dfrac54\pi<\theta<2\pi$

【例③】 $0\leqq \theta<2\pi$ のとき, 方程式 $\tan\theta\geqq\dfrac{1}{\sqrt3}$ を解け。
【解法】 $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ で求められる。この問題も円を描いて考えるのだが, 今回は動径 $r$ は関係ない。 $\tan\theta$ の大きさは $x$ 座標と $y$ 座標で決まる。 $x$ 座標を固定して考える方法もあるが, 今回は円周上で考えてみようと思う。円周上を動くとき, $x$ 座標が $y$ 軸に近づけば $y$ 座標の絶対値は大きくなり, $x$ 座標の絶対値は小さくなります。このことは, $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ で分母が大きく, 分子が小さいということを意味するので, $\tan\theta$ の絶対値は大きくなります。ただ, 分母が0 ( $x$ 座標が0)になることはありません。また, 反対に $x$ 座標が $x$ 軸に近づくとき, $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ の値は0に近づいていき, 最終的に0になります。この基本事項を押さえた上で話をすると, 問題では, $\dfrac{1}{\sqrt3}$ なので,半径 $2$ の円を描いてみると, $\tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt3}$ となる点は下図の赤い点のところである。このとき, $\tan\theta$ が $\dfrac{1}{\sqrt3}$ 以上になるところは, $x$ 座標, $y$ 座標の符号も考慮すると, 色を付けた範囲になります。