高校数学：指数関数と不等式

こんにちは。今回は指数関数と不等式について書いておきます。例題を見ながら書いていきます。

底をそろえて解く

【例①】 $2^x<8$
【解法】底をそろえる。
底を2でそろえると, $2^x<2^3$
底が1より大きいので,
指数部を比較して, $x<3\cdots$ (答)
【例②】 $\left(\dfrac12\right)^x\leqq\dfrac{1}{16}$
【解法】底を $\dfrac12$ でそろえる。
底を $\dfrac12$ でそろえると, $\left(\dfrac12\right)^{x}\leqq\left(\dfrac12\right)^4$
底 $\dfrac12$ が1より小さいので,
指数部を比較して, $x\geqq4\cdots$ (答)
不等号の向きが変わるのは底を2にしてみるとわかる。
底を2にすると, 与式は
$2^{-x}\leqq2^{-4}$
底は1より大きいので,
$-x\leqq-4$
よって, $x\geqq4\cdots$ (答)

指数関数を含む不等式

底をそろえて指数部を比較して解く。このとき, 次の性質を用いる。
$a>1$ のとき, $a^x<a^p$ なら, $x<p$
$0<a<1$ のとき, $a^x<a^p$ なら, $x>p$

底をそろえると二次不等式になる場合

続いての例題
【例③】方程式 $9^x-6\times3^x-27>0$ を解きなさい。
【解法】これも底をそろえて解いていきます。
$9^x=\left(3^2\right)^x=\left(3^x\right)^2$ なので, 底を3として式を書くと,
$\left(3^x\right)^2-6\times3^x-27>0$
$3^x=t$ 　 $t>0$ とおくと,
$t^2-6t-27>0$
$(t-9)(t+3)>0$
$t>0$ より,
$t>9$
$t=3^x$ なので,
$3^x>9$
$3^x>3^2$
$x>2\cdots$ (答)
【例④】方程式 $9^x-7\times3^x-18\leqq0$ を解きなさい。
【解法】これも底をそろえて解いていきます。
$9^x=\left(3^2\right)^x=\left(3^x\right)^2$ なので, 底を3として式を書くと,
$\left(3^x\right)^2-7\times3^x-18\leqq0$
$3^x=t$ 　 $t>0$ とおくと,
$t^2-7t-18\leqq0$
$(t-9)(t+2)\leqq0$
$t>0$ なので, $t+2>0$ より,
$t-9\leqq0$
$t=3^x$ なので,
$3^x-9\leqq0$
$3^x\leqq9$
$3^x\leqq3^2$
底は1より大きいので,
$x\leqq2\cdots$ (答)
【例⑤】方程式 $\left(\dfrac14\right)^x-3\left(\dfrac12\right)^x+2>0$ を解きなさい。
【解法】これも底をそろえて解いていきます。
$\left(\dfrac14\right)^x=\left\{\left(\dfrac12\right)^2\right\}^x=\left\{\left(\dfrac12\right)^x\right\}^2$ なので, 底を $\dfrac12$ として式を書くと,
$\left\{\left(\dfrac12\right)^x\right\}^2-3\left(\dfrac12\right)^x+2>0$
$\left(\dfrac12\right)^x=t$ 　 $t>0$ とおくと,
$t^2-3t+2>0$
$(t-1)(t-2)>0$
$t<1, t>2$
$t=\left(\dfrac12\right)^x$ なので,
$\left(\dfrac12\right)^x<1$ , $\left(\dfrac12\right)^x>2$
$\left(\dfrac12\right)^x<\left(\dfrac12\right)^0$ , $\left(\dfrac12\right)^x>\left(\dfrac12\right)^{-1}$
底 $\dfrac12$ が1より小さいので,
$x>0, x<-1\cdots$ (答)

指数関数を含む不等式

$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　底をそろえて $a^x=t$ として, $t$ の不等式をつくる。
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　このとき, $a^x>0$ なので, $t>0$ に気を付けて不等式を解く。
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $t>p$ なら, $a^x>p$ なので, このようなことから, $x$ の範囲を求める。
このとき, 底 $a$ が1より大きいとき, 1より小さいときで不等号の向きに気を付けること。