TikiZ：高校数学：累乗根の大小関係(底がそろう)

こんにちは。今回は累乗根の大小関係について書いておきます。今回は底がそろう場合ですが, 底が異なる場合はこちらを参照ください。

累乗根の大小関係

累乗根の大小関係は, 底をそろえて, 指数部分の大小関係で決着させることが多い。
底 $a$ が1より大きいとき, すなわち, $a>1$ の場合,
$a^p<a^q\hspace{2mm}(p<q)$
が成り立つ。このことは, 以下のグラフからもわかる。

底 $a$ が0と1の間にあるとき, すなわち, $0<a<1$ の場合,
$a^p>a^q\hspace{2mm}(p<q)$
が成り立つ。このことは, 以下のグラフからもわかる。

累乗根の大小関係

$\maru1$ 　底 $a$ が1より大きいとき, すなわち, $a>1$ の場合, $a^p<a^q\hspace{2mm}(p<q)\Longrightarrow$ 指数部の大小と元の数の大小関係が一致する。
$\maru2$ 　底 $a$ が0と1の間にあるとき, すなわち, $0<a<1$ の場合, $a^p>a^q\hspace{2mm}(p<q)\Longrightarrow$ 指数部の大小と元の数の大小関係が逆になる。

以上のことをふまえて例題を見てみましょう。

累乗根の大小関係の例題

【例題】 $\sqrt{5}, \sqrt[3]{25}, \sqrt[5]{125}$ の大小関係を調べ, 不等号を用いて表せ。
【解法】底を5でそろえると,
$\sqrt5=5^{\frac12}$ , $\sqrt[3]{25}=5^{\frac23}$ , $\sqrt[5]{125}=5^{\frac35}$
底5は1より大きいので, 指数部の大小関係と, 元の数の大小関係は一致するので, 指数部を比べると, $\dfrac12<\dfrac35<\dfrac23$ なので,
$5^{\frac12}<5^{\frac35}<5^{\frac23}$
よって,
$\sqrt{5}<\sqrt[5]{125}<\sqrt[3]{25}$
【例題】 $\left(\dfrac23\right)^{-2}, \left(\dfrac23\right)^{-3}, \left(\dfrac23\right)^{2}$ の大小関係を調べ, 不等号を用いて表せ。
【解法】底が0と1の間の数なので, 指数部の大小関係と逆の関係が元の数の大小関係になるので, 指数部を比べると, $-3<-2<2$ なので, 元の数の大小関係はその逆になる。
よって,
$\left(\dfrac23\right)^{2}<\left(\dfrac23\right)^{-2}<\left(\dfrac23\right)^{-3}$