TikZ：高校数学：累乗根

こんにちは。今回は累乗根について書いておきます。

n乗根について

$n$ を自然数とすると, $n$ 乗して, $a$ になる数を $a$ の $n$ 乗根という。ちなみに2乗して $a$ になる数は, $a$ の平方根といいます。

例えば8の3乗根(立方根ともいう)の数は？と聞かれたら, この意味は3乗して8になる数字はいくつですか？と聞いていることと同意です。したがって, この場合, 8の3乗根は, ただ1つだけあって, 2になります。 $2^3=8$ ですから。
同じように16の4乗根はというと, 4乗して16になる数字ですから, この場合, 正負の2つあって, $\pm2$ になります。 $(-2)^4=16, 2^4=16$ ですから。
それでは5の3乗根は？と聞かれたらこのような数字はないので, 平方根同様, 根号を使って表します。奇数乗根の値はただ1つしかないので, この場合, 5の3乗根は $\sqrt[3]{5}$ と表します。
同様に, 5の4乗根は？と聞かれたらこのような数字はないので, 先と同様, 根号を使って表しますが, 偶数乗根は正負の2つあるので, この場合, 5の4乗根は $\pm\sqrt[4]{5}$ となります。ただし, 負の数の偶数乗根は実数では存在しません。
$n$ が奇数のときと偶数のときで, $n$ 乗根の値が1つだったり2つだったりする理由を見ていきましょう。

n乗根(nが奇数)のとき

$n$ 乗根( $n$ が奇数のとき)
$y=x^n\ (n$ は奇数)のグラフの概形は以下のようになり, 1つの $y$ 値に対して, $x$ の値はただ1つ決まる。したがって, $n$ 乗根の値もただ1つ決まる。また, グラフから負の値の $n$ 乗根も存在することがわかる。

n乗根(nが偶数)のとき

$n$ 乗根( $n$ が偶数のとき)
$y=x^n\ (n$ は偶数)のグラフの概形は以下のようになり, 1つの $y$ 値に対して, $x$ の値は2つ決まる。したがって, $n$ 乗根の値は2つあるが, グラフから負の値は存在しないので, 負の数の $n$ 乗根の値も実数の範囲では存在しない。