高校数学:複素数解と方程式

こんにちは。今回は複素数と方程式について書いておきます。例題を追ってみていきましょう。

例題を見てみよう

【例題】a, bを実数とする。2次方程式ax^2+bx+1=0の解の一つが, 2-3iであるとき, a, bの値と他の解を求めよ。
【解法1】はやや面倒な解き方ですが, 教科書的な解き方です。【解法2】では工夫することで, 比較的簡単に解けるので, おすすめの解法です。

解法1・代入

【解法1】1つの解がわかっているときは, 基本代入して考えます。
しかたがって, x=2-3iを与式の方程式に代入します。
a(2-3i)^2+b(2-3i)+1=0
a(-5-12i)+2b-3bi+1=0}
-5a-12ai+2b-3bi+1=0
実部と虚部に分けると
-5a+2b+1+(-12a-3b)i=0
左辺=0なので,
-5a+2b+1=0, -12a-3b=0
この連立方程式を解いて,
a=\dfrac{1}{13}, b=-\dfrac{4}{13}
したがって方程式は
\dfrac{1}{13}x^2-\dfrac{4}{13}x+1=0となるので,
両辺13倍して,
x^2-4x+13=0
これを解いて, x=2\pm3i
他の解は, x=2+3i

解法2・式変形して2乗

【解法2】a, bは実数なので, x=2-3ix-2=3iとして両辺を2乗します。
(x-2)^2=(3i)^2
x^2-4x+4=-9
x^2-4x+13=0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
これで, x=2-3iを解に持つ2次方程式が求まりましたが,
問題の2次方程式は定数項の部分が1なので, それに合わせるため, \textcircled{\scriptsize 1}の両辺を13で割って,
\dfrac{1}{13}x^2-\dfrac{4}{13}x+1=0
与式と係数比較して,
a=\dfrac{1}{13}, b=-\dfrac{4}{13}
他の解は\textcircled{\scriptsize 1}を解いて,
x=2+3i

他の解は2次方程式の解の公式x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}の分子に\pmとあるように, 2-3iが解の1つなら, 他の解は2+3iであることは, 想像できそうですね。
以上になります。

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