高校数学:点と直線の距離の証明

こんにちは。今回は点と直線の距離の証明です。普通に解いていきますのでよろしくお願いします。

(x_0, y_0)から直線ax+by+c=0までの距離をdとすると, d
d=\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}
という式で与えられるというものです。

直線ax+by+c=0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}の傾きは-\dfrac{a}{b}であるから, 点(x_0, y_0)を通り, 直線ax+by+c=0に垂直な直線の式は,
y=\dfrac{b}{a}\left(x-x_0\right)+y_0で与えられます。
この式を両辺a倍して整理すると,
bx-ay-bx_0+ay_0=0\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
となります。
\textcircled{\scriptsize 1}, \textcircled{\scriptsize 2}を用いて, 交点を求めることにする。
まずy座標を求めると,
\textcircled{\scriptsize 1}\times b-\textcircled{\scriptsize 2}\times aで, xを消去し,
\left(a^2+b^2\right)y+bc+abx_0-a^2y_0=0
y=\dfrac{-bc-abx_0+a^2y_0}{a^2+b^2}
次にx座標を求めると,
\textcircled{\scriptsize 1}\times a+\textcircled{\scriptsize 2}\times bで, yを消去し,
\left(a^2+b^2\right)x+ac-b^2x_0+aby_0=0
x=\dfrac{-ac+b^2x_0-aby_0}{a^2+b^2}
したがって, 求める距離d
点(x_0, y_0)と点\left(\dfrac{-ac+b^2x_0-aby_0}{a^2+b^2}, \dfrac{-bc-abx_0+a^2y_0}{a^2+b^2}\right)との距離なので, 計算するのですが, 後で計算しやすいように, x座標, y座標で分けて計算を進めることにします。
x座標の差は
\dfrac{-ac+b^2x_0-aby_0}{a^2+b^2}-x_0
=\dfrac{-ac+b^2x_0-aby_0-x_0(a^2+b^2)}{a^2+b^2}
=\dfrac{-a^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}
=\dfrac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\cdots\textcircled{\scriptsize 3}
y座標の差は
\dfrac{-bc-abx_0+a^2y_0}{a^2+b^2}-y_0
=\dfrac{-bc-abx_0+a^2y_0-y_0(a^2+b^2)}{a^2+b^2}
=\dfrac{-abx_0-b^2y_0-bc}{a^2+b^2}
=\dfrac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\cdots\textcircled{\scriptsize 4}
求める距離d
d=\sqrt{\textcircled{\scriptsize 3}^2+\textcircled{\scriptsize 4}^2}で求められるので
d=\sqrt{\left\{\dfrac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right\}^2+\left\{\dfrac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right\}^2}
=\sqrt{\dfrac{a^2(ax_0+by_0+c)^2+b^2(ax_0+by_0+c)^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}}
=\sqrt{\dfrac{\cancel{\left(a^2+b^2\right)}\left(ax_o+by_0+c\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)\cancel{^2}}}
=\sqrt{\dfrac{\left(ax_o+by_0+c\right)^2}{a^2+b^2}}
=\dfrac{\left|ax_o+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdots(終)

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