emath：高校数学：微分と接線の傾き

こんにちは。相城です。今回は微分すると接線の傾きが求まることを書いておきます。

接線の傾きって微分で求まるの？

下の図は関数 $f(x)=x^3-x$ のグラフである。微分したものがなぜ接線の傾きになるのか考えてみましょう。ここでは, グラフ上のA( 1, 0 )における接線の傾きを求めてみます。

まず点Aを通る直線を考えるとき, 直線AC, ABのように点Aとは異なる点を通る直線が考えられます。ここで点A以外のグラフ上の点をC $(1+h,f(1+h))$ (∵ $h$ は点Aからの $x$ の増加量)とすると, 2点ACを通る直線の傾きは中学生の公式を使って, 次のように与えられます。

$=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{(h+1)-1}$
$=\dfrac{{(1+h)^3-(1+h)}-{1^3-1}}{h}$
$=\dfrac{1+3h+3h^2+h^3-1-h-0}{h}$
$=2+3h+h^2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
となります。
ここで, 接線とは接することであるから, この点Aからの増加量 $h$ は0に近くなり, 点Aではまさに0(厳密には0ではないが, 限りなく0である)になって, 接することになります。ですから $\textcircled{\scriptsize 1}$ で $h\rightarrow0$ となり, 接線の傾きは2になることが分かります。これが関数 $f(x)$ の $x=1$ における微分係数(接線の傾き)です。このように, グラフを細かく見ていくことができます。
一般に関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数は次のように定義されます。
$f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
微分係数は $x$ の値1つ1つに対応しますが, この1つ1つの対応を関数としてみたとき, 導関数(微分)は次のように定義されます。
$f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
実際, 上の $f(x)=x^3-x$ の微分を導関数の定義の $\textcircled{\scriptsize 2}$ でやってみると,
$f'(x) & = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{{(x+h)^3-(x+h)}-(x^3-x)}{h}$
$= \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{x^3}+3x^2h+3xh^2+h^3-\cancel{x}-h-\cancel{x^3}+\cancel{x}}{h}$
$= \displaystyle\lim_{h \to 0} (3x^2-1+3xh+h^2)$
$= 3x^2-1$
微分をご存知の方は, $f(x)=x^3-x$ なら, $f'(x)=3x^2-1$ となることは瞬時にお分かりだと思います。したがって, $x=1$ における微分係数(接線の傾き)は, $f'(1)=2$ となり, はじめに計算したものと一致します。このように, 導関数を求め(微分し), 接点の $x$ 座標を代入することで接線の傾きが得られます。
微分することで, 瞬間の変化の割合(傾き)が分かります。これによって, グラフを細かく見ていくことが可能です。また, 変化の割合が一定でないことは, そのグラフは曲線を描くことは言うまでもありません。

微分係数では $x$ の値に応じて1つ1つ求めなければなりませんが, 今後微分係数の計算は導関数を求めて(微分して), それに必要な $x$ の値を代入することで, 所定の微分係数は得られるようになります。