高校数学：数列・3項間漸化式の基本3パターン

こんにちは。相城です。今回は3項間の漸化式について書いておきます。

3項間漸化式の解法の大まかな流れ

漸化式 $p a_{n+2}+q a_{n+1}+ra_n=0\ (p\neq 0)$ について, $a_n$ は次のようにして求めることができる。漸化式の $a_{n+2}$ , $a_{n+1}$ , $a_n$ をそれぞれ, $x^2$ , $x$ , $1$ で置き換えた特性方程式 $px^2+qx+r=0$ の解を $\alpha$ , $\beta$ とする。
このとき, $px^2+qx+r=0$ は $(x-\alpha)(x-\beta)=0$ と同値なので,
$x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$
$x^2$ , $x$ , $1$ をそれぞれ $a_{n+2}$ , $a_{n+1}$ , $a_n$ で置き換えると
$a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_n=0$
展開すると,
$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}-\beta a_{n+1}+\alpha\beta a_n=0$
左辺に $a_{n+2}-\alpha a_{n+1}$ を残して, 残りを右辺に移項して $\beta$ でくくると,
$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
同様に, 左辺に $a_{n+2}-\beta a_{n+1}$ を残して, 残りを右辺に移項して $\alpha$ でくくると,
$a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\beta a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
この $\textcircled{\scriptsize 1}, \textcircled{\scriptsize 2}$ を用いて一般項 $a_n$ を求めることになる。
以下に特性方程式の解 $\alpha, \beta$ が $\alpha\neq\beta$ (異なる2つの解), $\alpha=\beta$ (重解), $\alpha$ , $\beta$ の一方が1になる場合について例題と解き方を書いておきます。

異なる2つの解(α≠βのとき)

【例題】次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めなさい。
$a_1=1,\ a_2=4, a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0$
【解法】特性方程式 $x^2-5x+6=0$ とすると,
$(x-2)(x-3)=0$ なので, $\alpha=2, \beta=3$ として, 漸化式を変形すると,
$a_{n+2}-2 a_{n+1}=3 (a_{n+1}-2 a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
$a_{n+2}-3 a_{n+1}=2 (a_{n+1}-3 a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
$\textcircled{\scriptsize 1}$ より, 数列 $a_{n+1}-2a_n$ は初項 $a_2-2a_1=4-2\cdot1=2$ , 公比3の等比数列である。したがって,
$a_{n+1}-2a_n=2\cdot3^{n-1}\cdots\textcircled{\scriptsize 3}$
また, 同様に,
$\textcircled{\scriptsize 2}$ より, 数列 $a_{n+1}-3a_n$ は初項 $a_2-3a_1=4-3\cdot1=1$ , 公比2の等比数列である。したがって,
$a_{n+1}-3a_n=2^{n-1}\cdots\textcircled{\scriptsize 4}$
$\textcircled{\scriptsize 3}- \textcircled{\scriptsize 4}$ で, $a_{n+1}$ を消去して, $a_n$ を求めると,
$a_n=2\cdot3^{n-1}-2^{n-1}\cdots$ (答)

特性方程式の解が異なる2解(α≠β,1は含まない)のとき

特性方程式の解 $\alpha, \beta$ を用いて
$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
$a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\beta a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
と変形する。
変形した2つの式から, それぞれ数列を求める。
$\textcircled{\scriptsize 1}$ から
$a_{n+1}-\alpha a_n$ の一般項を求める。
$a_{n+1}-\alpha a_n=(a_2-\alpha a_1)\beta^{n-1}\cdots\textcircled{\scriptsize 3}$
$\textcircled{\scriptsize 2}$ から
$a_{n+1}-\beta a_n$ の一般項を求める。
$a_{n+1}-\beta a_n=(a_2-\beta a_1)\alpha^{n-1}\cdots\textcircled{\scriptsize 4}$
$\textcircled{\scriptsize 3}, \textcircled{\scriptsize 4}$ を用い, 筆算で $a_{n+1}$ を消去して $a_n$ を求める。

重解のとき(α＝βのとき)

【例題】次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めなさい。
$a_1=1,\ a_2=4, a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0$
【解法】特性方程式 $x^2+4x+4=0$ とすると,
$(x+2)^2=0$ となり, $\alpha=\beta=-2$ として, 漸化式を変形すると,
$a_{n+2}+2 a_{n+1}=-2 (a_{n+1}+2 a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
$\textcircled{\scriptsize 1}$ は, 初項 $a_2+2a_1=4+2\cdot1=6$ , 公比 $-2$ の等比数列である。したがって,
$a_{n+1}+2a_n=6\cdot(-2)^{n-1}$
ここで, 両辺を $(-2)^{n+1}$ で割ると,
$\dfrac{a_{n+1}}{(-2)^{n+1}}+\dfrac{2a_n}{(-2)^{n+1}}=\dfrac{6\cdot(-2)^{n-1}}{(-2)^{n+1}}$
$\dfrac{a_{n+1}}{(-2)^{n+1}}+\dfrac{2a_n}{-2\cdot(-2)^n}}=\dfrac{6\cdot(-2)^{n-1}}{(-2)^2\cdot(-2)^{n-1}}$
$\dfrac{a_{n+1}}{(-2)^{n+1}}-\dfrac{a_n}{(-2)^n}}=\dfrac{3}{2}$
よって, 数列 $\dfrac{a_n}{(-2)^n}$ は, 初項 $\dfrac{a_1}{-2}=-\dfrac12$ , 公差 $\dfrac32$ の等差数列である。したがって,
$\dfrac{a_n}{(-2)^n}=-\dfrac12+\dfrac32(n-1)$
$\dfrac{a_n}{(-2)^n}=\dfrac32 n-2$
$a_n=(-2)^n\left(\dfrac32 n-2\right)\cdots$ (答)

特性方程式が重解(α=β)のとき

特性方程式の解 $\alpha$ を用いて
$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\alpha a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
と変形する。
変形した式から,
$a_{n+1}-\alpha a_n=(a_2-\alpha a_1)\alpha^{n-1}$ として, 両辺を $\alpha^{n+1}$ で割り,
以下の等差数列の形に持ち込み解く。
$\dfrac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}}-\dfrac{a_n}{\alpha^n}=d$

解に1を含むとき(αかβが1のとき)

【例題】次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めなさい。
$a_1=1,\ a_2=4, a_{n+2}+a_{n+1}-2a_n=0$
【解法】特性方程式 $x^2+x-2=0$ とすると,
$(x-1)(x+2)=0$ なので, $\alpha=1, \beta=-2$ として, 漸化式を変形すると,
$a_{n+2}+2 a_{n+1}=1 (a_{n+1}+2 a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
$a_{n+2}-1 a_{n+1}=-2 (a_{n+1}-1 a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
より, 1を略して書くと,
$a_{n+2}+2 a_{n+1}= a_{n+1}+2 a_n\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
$a_{n+2}- a_{n+1}=-2 (a_{n+1}- a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
$\textcircled{\scriptsize 2}$ より,
数列 $a_{n+1}-a_n$ は, 初項 $a_2-a_1=4-1=3$ , 公比 $-2$ の等比数列である。したがって,
$a_{n+1}-a_n=3\cdot(-2)^{n-1}$
これは, 2項間の階差数列が等比数列になることを表している。
したがって,
$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3\cdot(-2)^{k-1}$
$a_n=1+3\cdot\dfrac{1\cdot\left\{1-(-2)^{n-1}\right\}}{1-(-2)}$
$a_n=2-(-2)^{n-1}$

特性方程式の解α, βのどちらかが1のとき

特性方程式の解 $\alpha, 1$ を用いて
$a_{n+2}- a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}- a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
と変形する。
変形した式から,
$a_{n+1}- a_n=(a_2-a_1)\alpha^{n-1}$ として, 2項間の階差数列が等比数列になっていることを用いて解く。
$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (a_2-a_1)\alpha^{k-1}$

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