高校数学:数列・少し複雑な漸化式の変形

こんにちは。相城です。今回はやや複雑な漸化式の変形を書いておきます。早速例題を見ていきましょう。

例題を見てみよう

【例題】a_1=1, \ a_{n+1}=2a_n+nで定められる数列\{ a_n \}の一般項a_nを求めよ。
【解法】a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_n+\alpha n+\beta)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}と変形できるといいなぁって考えます。なぜなら, 等比系の漸化式に帰着するから。そこで, 与式の漸化式と\textcircled{\scriptsize 1}は恒等な関係にあるので, 展開して, 係数比較を行います。
a_{n+1}+\alpha n+\alpha+\beta=2a_n+2\alpha n+2\beta\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
\textcircled{\scriptsize 2}の左辺のa_{n+1}以外の項を与式の漸化式のnのある右辺に移項すると,
a_{n+1}=2a_n+\alpha n+\beta-\alphaとなり, これが, 与式の漸化式と一致するためには,
\alpha n=n, \beta-\alpha=0が条件となり,
\alpha=1, \beta=1となる。
これを\textcircled{\scriptsize 1}に代入し, 与式の漸化式は次のように変形できる。
a_{n+1}+(n+1)+1=2(a_n+n+1)\cdots\textcircled{\scriptsize 3}
b_n=a_n+n+1と置くと,
b_nは初項b_1=a_1+1+1=3, 公比2の等比数列である。
b_n=3\cdot2^{n-1}
b_n=a_n+n+1なので
a_n+n+1=3\cdot2^{n-1}
a_n=3\cdot2^{n-1}-n-1\cdots(答)

流れをつかんでおこう
    a_{n+1}=\beta a_n+bn+c\cdots\textcircled{\scriptsize 1}の漸化式の攻略

  1. a_{n+1}+p(n+1)+q=\beta(a_n+pn+q)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}と変形できるとする。
  2. \textcircled{\scriptsize 1}\textcircled{\scriptsize 2}が恒等な関係からp, \ qを求める。
  3. a_{n+1}+p(n+1)+q=\beta(a_n+pn+q)で, b_n=a_n+pn+qとして, 初項b_1, 公比\betaの等比数列としてb_nを求める。
  4. b_na_n+pn+qにしてa_nを求める。


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