高校数学：等比数列系漸化式a_n+1=pa_n+q

こんにちは。相城です。今回は漸化式の変形方法を書いておきます。
以下では $p\neq1, q\neq0$ としています。また後述する特性方程式では, $p\neq1,\ q$ は定数という前提になりますのでご注意を。

例題を見てみよう

さて, 次のような例題があったとします。
【例題】初項 $a_1=6,$ 二項間の漸化式が $a_{n+1}=3a_n-8$ で定められる数列 $\{ a_n \}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。
【解法】この手の問題の解説見ても, いきなり式を変形すると, ってあるじゃないですか。あれどうやって変形したのか疑問ですよね？私は疑問でした。
今回はそれを解消し, その知識を知ることで, 変形しやすくしようと思います。
からくりは次のようです。
まず, 与式の漸化式は次のように変形できます。(理屈はページ下部にあり)
$a_{n+1}-\alpha=3(a_n-\alpha)\ (\alpha$ は定数 $)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
こう変形できるので, これを展開したものは, 与式の漸化式と一致します。
展開すると,
$a_{n+1}=3a_n-2\alpha$ となり, $-2\alpha$ は与式の漸化式の $-8$ と一致します。したがって,
$\underline{-2\alpha=-8, \ \alpha=4}$
となるので, $\textcircled{\scriptsize 1}$ の $\alpha$ を $4$ に置き換えると,
$a_{n+1}-4=3(a_n-4)$
あとはお決まりのパターンに持ち込んでいきます。
$b_n=a_n-4$ と置くと,
$b_{n+1}=3b_n$ となり, $b_n$ は初項 $b_1=a_1-4=6-4=2$ , 公比3の等比数列なので,
$b_n=2\cdot3^{n-1}$
$b_n=a_n-4$ なので,
$a_n-4=2\cdot3^{n-1}$
$a_n=2\cdot3^{n-1}+4\cdots$ (答)
上記中の下線部あたりは理屈っぽく書いていますが, $\alpha$ は以下の特性方程式の解になります。ただし, 特性方程式は $p\neq1,\ q$ は定数という前提になります。また, 理屈的には以下のように $\alpha$ は引くことになりますので, この例題の場合, 特性方程式 $x=3x-8$ を解いて得られる $x=4(\alpha)$ も同様に辺々から引くことになります。

$\begin{array}{ccccccc}&&a_{n+1}&=&pa_n&+&q\\-&)&\alpha&=&p\alpha&+&q\\\hline&&a_{n+1}-\alpha&=&p(a_{n}-\alpha)&&\end{array}$

流れをつかんでおこう

$a_{n+1}=p a_n+q$

$a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)$ と変形できるとする。
$\alpha$ は特性方程式 $x=p x+q$ の解として $x=\alpha$ を求める。
$a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)$ で, $b_n=a_n-\alpha$ として, 初項 $b_1$ , 公比 $p$ の等比数列として $b_n$ を求める。
$b_n$ を $a_n+\alpha$ にして $a_n$ を求める。

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