高校数学:因数分解を使った整数問題

こんにちは。相城です。今回は因数分解による整数問題を扱ってみようと思います。

攻略のカギ

因数分解による整数問題では
(x+a)(y+b)=c\ (a,b,cは整数)
のような形に持ち込むことが解法のカギとなります。

例題を見てみよう

例題を見ていきましょう。まず基本の形から
【例題1】(x-3)(y+2)=5を満たす整数x, yの組をすべて求めよ。
【解法1】この場合x-3y+2の積が5なので,
積が5になる整数の組は, x-3y+2で区別すると, ( 1, 5 ), ( -1, -5 ), ( 5, 1 ), (-5, -1)となり,
x-3=1, y+2=5より, (x, y)=( 4, 3 )
x-3=-1, y+2=-5より, (x, y)=( 2, -7 )
x-3=5, y+2=1より, (x, y)=( 8, -1 )
x-3=-5, y+2=-1より, (x, y)=( -2, -3 )
以上より, (x, y)=(4, 3), (2, -7), (8, -1), (-2, -3)

【例題2】xy-3x-2y+3=0を満たす整数x, yの組をすべて求めよ。
【解法2】この場合, 半ば強引に因数分解する形にもっていく。
xy-3xの部分でxでくくれるので, x(y-3)とすると, 因数分解できるためには後の項で(y-3)という共通因数がなければならない。
したがって, 半ば強引に次のように式を変形する。
x(y-3)\underline{-2(y-3)-6}+3=0
下線部の-2(y-3)を展開してできる+6ははじめになかった数なので, -6を付けてやることで, これを解消している。
この式を因数分解して(x+a)(y+b)=cの形にもち込むと
(x-2)(y-3)=3
積が3になる整数の組は, x-2y-2で区別すると, ( 1, 3 ), ( -1, -3 ), ( 3, 1 ), (-3, -1)となり,
x-2=1, y-3=3より, (x, y)=( 3, 6 )
x-2=-1, y-3=-3より, (x, y)=( 1, 0 )
x-2=3, y-3=1より, (x, y)=( 5, 4 )
x-2=-3, y-3=-1より, (x, y)=( -1, 2 )
以上より, (x, y)=(3, 6), (1, 0), (5, 4), (-1, 2)

このように, 与式を整数\times整数の形に持ち込んで解いていくことが, 解法の道しるべになります。基本はこのような形です。では。

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