高校数学:11で割ると9余り, 5で割ると2余る3桁の自然数

こんにちは。相城です。さて, 今回は整数問題をやってみましょう。
【問題】11で割ると9余り, 5で割ると2余る3桁の自然数のうち, 最小のものと最大のものを求めなさい。
【解法の道筋】求める自然数N11a+9, 5b+2と表し, この2つを等号で結び整数問題に帰着させるのがコツです。
【解法】求める自然数をNとすると,
N=11a+9, N=5b+2\ (a, bは自然数)となり,
11a+9=5b+2なので,
11a-5b=-7\cdots\textcircled{\scriptsize 1}となる。
ここで, 11a-5b=1となるa, bの1つは(a, b)=(1, 2)なので,
11a-5b=-7となるa, bの1つは(a, b)=(-7, -14)である。
したがって,
11\cdot(-7)-5\cdot(-14)=-7\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
\textcircled{\scriptsize 1}-\textcircled{\scriptsize 2}より,
11(a+7)-5(b+14)=0
11(a+7)=5(b+14)
11と5は互いに素なので,
a+7=5k, b+14=11k\ (kは整数)
これより,
a=5k-7, b=11k-14
11a+9a=5k-7を代入し,
11(5k-7)+9=55k-68
求める自然数は3桁なので,
100\leqq 55k-68\leqq 999
これを解くと,
3.05\cdots\leqq k \leqq 19.4
よって最小のkは4, 最大のkは19となる。
k=4のとき, 55\cdot4-68=152
k=19のとき, 55\cdot19-68=977
したがって, 求める最小の自然数は152, 最大の自然数は977


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