高校数学：独立試行の確率

こんにちは。相城です。今回は確率について書いておきます。

独立試行とは

独立試行とは, 複数の試行において, どの試行も他の試行結果に影響を与えない場合, それらの試行は独立であるといいます。例えば, さいころを投げるという試行があって, 1回投げたら3の目が出ました。では, 1回目に3の目が出たからといって, 2回目にさいころを投げるときに, 何か特定の目が出やすくなるかと言われれば, そんなことはないので, 1回目の試行結果は2回目以降の試行に影響はありません。このような試行を独立試行といいます。

独立試行の確率の計算

試行S, T, U, $\cdots$ が独立であるとき,
試行Sで事象 $A$ が起こり, かつ試行Tで事象 $B$ が起こり, かつ試行Uで事象 $C$ が起こり, $\cdots$ が起こる確率 $p$ は,
$p=P(A)\times P(B)\times P(C)\times\cdots$
で求められます。

例題を見てみよう

【例題】2つの袋A, Bがある。袋Aには当たりくじ5本を含む15本のくじが入っており, 袋Bには当たりくじを3本含む10本のくじが入っている。このとき, 袋A, Bから1本ずつくじを引いたとき, ともに当たりくじを引く確率を求めよ。
【解法】袋Aから当たりくじを引く確率は $\dfrac{5}{15}=\dfrac13$ , 袋Bから当たりくじを引く確率は $\dfrac{3}{10}$ 。これら2つの試行は独立しているので, 求める確率は,
$\dfrac13\times\dfrac{3}{10}=\dfrac{1}{10}$

【例題】3個のさいころを同時に投げるとき, 3個とも5以下の目が出る確率を求めよ。
【解法】1個のさいころで5以下の数字は5つあるので, 1個のさいころで5以下の目が出る確率は $\dfrac{5}{6}$ 。さいころを投げることは独立試行なので, 求める確率は $\left(\dfrac56\right)^3=\dfrac{125}{216}$

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