高校数学:組合せについて

こんにちは。相城です。今回は組合せについて書いておきます。

組合せについて

組合せとは
いくつかのものから, 一部を選んで, その順番や並びを無視した1つの組を組合せと言います。
異なるn個のものから異なるr個を取り出してつくる組合せのの総数を,
{}_n \mathrm{C}_r = \dfrac{{}_n \mathrm{P}_r }{r!}=\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)(r-2)\cdots3\cdot2\cdot1}
として計算します。Cはコンビネーション(組合せ)の頭文字からきています。
また, この組合せのことをn個からr個取る組合せと言います。
異なるn個からr個取る組合せの総数は,
異なるn個からn-r個取る組合せと同じなので,
{}_n \mathrm{C}_r={}_n \mathrm{C}_{n-r}
が成り立つ。
【例】{}_{10} \mathrm{C}_7 = {}_{10} \mathrm{C}_3

r!で割る意味

ちなみに上の公式ので, 順列( {}_n \mathrm{P}_r )の総数をr!で割っています。これは, 順列では ( 1, 2 )を( 1, 2 ), ( 2, 1 )の2通りと区別していたのですが, 組み合わせでは, これらは( 1 , 2 )の1通りです。つまり2つ選んだときの順列のままでは, 2!通りのダブりができます。
もう少し実験してみると, ( 1, 2, 3 )のように3つ選ぶ場合, 順列では, ( 1, 2, 3 ), ( 1, 3, 2 ), ( 2, 1, 3 ), ( 2, 3, 1 ), ( 3, 1, 2 ), ( 3, 2, 1 )の6通り( 3! )を区別しますが, 組合せではこれらは同じ組として扱うので, ( 1, 2, 3 )の1通りになります。つまり, 順列のままでは, 3!通りのダブりができてしまいます。
このように, 組合せでは, 異なるn個からr個選んだ順列の総数( {}_n \mathrm{P}_r )を, そのダブりの個数r!で割って, 求めることになります。

例題

【例題】5人から2人選ぶ組み合わせの総数を求めなさい。
【解法】
{}_5 \mathrm{C}_2 = \dfrac{5\cdot4}{2\cdot1}=10
10通り

【例題】9人から6人のグループをつくるとき, その選び方の総数を求めよ。
【解法】
{}_9 \mathrm{C}_6 = {}_9 \mathrm{C}_3=\dfrac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84
84通り

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