高校数学：円順列について

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こんにちは。相城です。今回は円順列について少し書いておきます。

円順列について

円順列とは

いくつかのものを円形に並べるとき, その並び方(順列)を円順列という。
異なる $n$ 個のものを円形に並べる順列の総数を,
$(n-1)!$
として計算します。
円順列では, 回転して並びが同じになるのを, 同じものとして扱います。

(n-1)!とは

例えば, A, B, Cの3つを円形に並べる方法は全部で何通りあるか。
これは, 通常の順列を考えると, $3!$ ですが, 以下のように円順列にすると同じ並び方が3組できます。

したがって, $n$ 個の円順列では $n$ 個のダブりができるので, $n$ 個の円順列の総数は $\dfrac{n!}{n}=(n-1)!$ になります。
したがって, この例題の場合, $(3-1)!=2$
2通りとなります。
もう一つの考え方として, 1つ固定して順列と同じように並べるのと同じなので, $(n-1)!$ と捉えることもあります。

n個からr個取って並べる円順列

n個からr個とって円形に並べる

異なる $n$ 個のものから $r$ 個とって円形に並べる順列の総数を,
$\dfrac{{}_n \mathrm{P}_r}{r}$
として計算します。
$r$ で割るのは $r$ 個円形に並べると $r$ 個のダブりができるから。
考え方は上と同じ。
また, 異なる $n$ 個から $r$ 個選んで, それを円順列に並べるとすると,
${}_n \mathrm{C}_r\times(r-1)!$
とも表せますね。

例題を見てみよう

【例題】5種類のビーズから3つを選んで, 円形に並べる方法は何通りあるか。
【解法1】
$\dfrac{{}_5 \mathrm{P}_3}{3}=\dfrac{5\cdot4\cdot3}{3}=20$
20通り
【解法2】
${}_5 \mathrm{C}_3\times(3-1)!=\dfrac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}\times2\cdot1=20$
20通り

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