高校数学:円順列について

こんにちは。相城です。今回は円順列について少し書いておきます。

円順列について

円順列とは
いくつかのものを円形に並べるとき, その並び方(順列)を円順列という。
異なるn個のものを円形に並べる順列の総数を,
(n-1)!
として計算します。
円順列では, 回転して並びが同じになるのを, 同じものとして扱います。

(n-1)!とは

例えば, A, B, Cの3つを円形に並べる方法は全部で何通りあるか。
これは, 通常の順列を考えると, 3!ですが, 以下のように円順列にすると同じ並び方が3組できます。

したがって, n個の円順列ではn個のダブりができるので, n個の円順列の総数は\dfrac{n!}{n}=(n-1)!になります。
したがって, この例題の場合, (3-1)!=2
2通りとなります。
もう一つの考え方として, 1つ固定して順列と同じように並べるのと同じなので, (n-1)!と捉えることもあります。

n個からr個取って並べる円順列

n個からr個とって円形に並べる
異なるn個のものからr個とって円形に並べる順列の総数を,
\dfrac{{}_n \mathrm{P}_r}{r}
として計算します。
rで割るのはr個円形に並べるとr個のダブりができるから。
考え方は上と同じ

例題を見てみよう

【例題】5種類のビーズから3つを選んで, 円形に並べる方法は何通りあるか。

【解法】\dfrac{{}_5 \mathrm{P}_3}{3}=\dfrac{5\cdot4\cdot3}{3}=20
20通り

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